Inverse berechnen

30.03.2015, 20:21	Dubilodiduu	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse berechnen Guten Abend liebe Mathe Community, ich muss ehrlich sagen, dass ich das Simultanverfahren zur Berechnung der Inversen nicht verstehe. In der Schule wird einfach die Matrix neben die Einheitsmatrix geschrieben und dann nach Rezept ausgerechnet, was mich ziemlich ernüchtert. Wenn zum Beispiel eine 2x2 Matrix mit ihrer Inversen multipliziert wird, dann kommt die Einheitsmatrix raus. Hab ich auch duch nachrechnen verstanden. Wenn ich die Inverse aber zur Unbekannten mache, komme ich nicht weiter. Es kommt z.B sowas Raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3a + c & 3b +d\\ 2a + 4c & 2b + 4d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären, weshalb das Simultanverfaren funktioniert? Wenn ich verusche, einfach aufzulösen, bekomme ich ja 4 Gleichungen und 4 Unbekante, was ja eigentlich auch funktionieren muss, aber das bekomme ich nicht hin. Liebe Grüße
30.03.2015, 20:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das 4×4-System aufspalten in zwei 2×2-Systeme, eines mit den Variablen $\begin{align} a,c \end{align}$ und eines mit den Variablen $\begin{align} b,d \end{align}$ . Das sollte machbar sein. Es gibt übrigens im zweidimensionalen Fall eine fertige Formel. Falls die Determinante $\begin{align} \Delta = ad-bc \neq 0 \end{align}$ ist, gilt: $\begin{align} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{align}$ Im wesentlichen werden also die Diagonalelemente vertauscht, und bei den anderen Elementen wird das Vorzeichen geändert.
30.03.2015, 20:54	Dubilodiduu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Leopold, Determinanten haben wir noch nicht in der Schule. Welches 4x4 System meistt du denn? Ich habe einfach die beiden Matrizen Vergleichen und diese Bedingungen aufgestellt: 3a + c = 1 2b + 4d = 1 3b + d = 0 2a + 4c = 0 Hieraus hab ich dann eine 4x4 Matrix gebildet und mit mit dem Gauß-Algotithmus aufgelöst. Das Ergebnis stimmt auch und lautet: a = 0,4; b= -0,1; c = -0,2 : d = 0,3. Meinst du diese 4x4 Matrix? Ich kann mit vorstellen dass das Lösen mit Gauß bei einer 4x4 Matrix mit 16 Variablen extrem Lange dauert.Deshalb möchte ich da sSImultnverfahren verstehen und nicht stumpf anwenden. Mich verwirrt bei Simultanverfahren schon alleine die allgemeine Darstellung mit (A\|E). Wieso gilt das denn überhaupt und was meint das? Liebe Grüße

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