Einen eigenen Raum definieren

30.03.2015, 20:59	kon	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen eigenen Raum definieren Meine Frage: Ich möchte einen eigenen Raum definieren, der folgende Eigenschaften besitzt: Es gibt eine Folge R, die einige natürliche Zahlen als Glieder besitzt. Die Reihenfolge der Glieder ist beliebig, aber im Gegensatz zu einer Menge wird unterschieden wie oft ein Glied in dieser Folge enthalten ist. Zum Beispiel: $\begin{eqnarray} $R=\{1,1,2,2,3\}$ \end{eqnarray}$ unterscheidet sich von $\begin{eqnarray} $R=\{1,1,2,3\}$ \end{eqnarray}$ usw. Außerdem gibt es eine Menge I, auf welche die verschiedenen Glieder von R abgebildet werden sollen. I wäre in diesem Beispiel dann $\begin{eqnarray} $I=\{1,2,3\}$ \end{eqnarray}$ . Außerdem soll es folgende Operationen geben: $\begin{eqnarray} $\|R\|$ \end{eqnarray}$ gibt die Mächtigkeit von R wieder. $\begin{eqnarray} $\|k\|_R$ \end{eqnarray}$ gibt die Häufigkeit des Elementes k in R wieder. $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ \\ $\begin{eqnarray} \{i\} \end{eqnarray}$ gibt die Folge R ohne das Element i wieder, allerdings nur, wenn dieses auch in R enthalten ist, ansonsten die leere Menge { }. Beispiel $\begin{eqnarray} \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ \\ $\begin{eqnarray} \{4\}=\{ \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R\cup \{i\} \end{eqnarray}$ Vereinigung wie üblich. Wie definiere ich mit diesen Ansätzen einen Raum? Mit freundlichen Grüßen, kon Meine Ideen: Stehen oben.
30.03.2015, 21:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einen eigenen Raum definieren Die Menge aller R kann man leicht durch $\begin{eqnarray} \widetilde {\mathcal R} = \{ () \} \cup \{ p = (p_1, \dots, p_N ) \in \mathbb N^N: N \in \mathbb N \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \sim q : \iff \|p\| = \|q\| \text{ und } \exists \sigma \in S_{\|p\|} : p = (q_{\sigma(1)}, q_{\sigma(2)}, \dots, q_{\sigma(N)}) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \mathcal R = \widetilde{ \mathcal R }/ \sim \end{eqnarray}$ . Die anderen sind nur Operationen auf der Menge. Du hast sie ja schon definiert. Das ganze kann man noch "mathematisch" notieren, z.B. $\begin{eqnarray} R \setminus \{ i \} = \begin{cases} () & \text{falls } i \neq p_k \text{ für alle } k \text{ mit } k \leq \|R_k\| \\ [ (p_1, \dots, \widehat p_k, \dots, p_N) ] &\text{falls } p_k = i\end{cases} \end{eqnarray}$ , mit der üblichen Notation, dass das Element mit dem Hut ausgelassen wird. Damit lasse ich gerade genau einmal ein Element mit Wert i aus. Ansonsten kann man es anders definieren. Wie hilfreich diese Darstellung ist, ist eine andere Sache. Edit: Wegen der Äquivalenzrelation ist natürlich zu gewährleisten, dass alles Wohldefiniert ist.
31.03.2015, 23:33	kon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade fest gestellt, dass es Multimengen gibt die ich für diese Problematik nutzen kann.

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