Frage zu Differentialgleichungen

30.03.2015, 22:28

densch

Frage zu Differentialgleichungen

Meine Frage:
Da ich mich, in Vorausschau auf Vorlesungen in meinem nächsten Semester, aktuell mit Differentialgleichungen beschäftige, kam folgende Frage auf:

Ich kenne die Begriffe "partielle Differentialgleichung" und die "gewöhnliche Differentialgleichung".

Sagen wir nun mal, es sei folgende Differentialgleichung gegeben:

3x+4x'+7y+2y'+6=0

Letztlich sei eine (der Einfacheit halber implizit gegebene) Funktion der Form f(x,y)=55 gesucht.

In der Differentialgleichung oben handele es sich bei den Ableitungen um die (partiellen?) Ableitungen nach der jeweils anderen Variable.

Also x'=dx/dy und y'=dy/dx in Differentialschreibweise.

Beispiel:
4x+3y=7 <-> y=(7-4x)/3 und x=(7-3y)/4
und y'=-(4/3) und x'=-(3/4)

Nur wie kann man, wenn man diese implizite Gleichung konkret nicht kennt, aus einer Differentialgleichung der Form a*x+b*x'+c*y+d*y'+e=0 die gesuchte Gleichung bestimmen?

Meine Ideen:
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Mein Grundproblem liegt wahrscheinlich in der Tatsache dass man in der
Schule mal was von abhängigen und unabhängigen Variablen gehört hat.

So wäre beispielsweise nach Schullogik bei der Gleichung y=f(x)=3*x
das y die abhängige und x die unabhängige Variable.

Nun könnte man doch aber nach x umstellen (also die Umkehrabbildung bilden)
und das Gegenteil behaupten (x sei unabhängig, y sei abhängig).

Oder man könnte einfach so umstellen dass au der anderen Seite null steht:
y-3x=0

Was wäre hier nun abhängige und welche unabhängige Variable? O_o

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Aufgrund dieser Überlegungen tue ich mir schwer, den Unterschied zwischen partieller und gewöhnlicher Ableitung zu finden.

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Womit wir wieder beim Anfang wären:

1.
Ist eine Differentialgleichung der Form a*x+b*x'+c*y+d*y'+e=0 nun eine gewöhnliche oder eine partielle Differentialgleichung?
Wie sieht es mit Linearität, konstanten Koeffizienten und ähnlichen Merkmalen aus?

2.
Wie sähe es aus, wenn zusätzlich noch eine dritte Variable, beispielsweise z, bei dem ganzen dabei wäre?

Also eine Gleichung der Form f(x,y,z)=0 gesucht wäre?

PS: Wie man Ableitungen ( auch partielle) berechnet, ist mir schon klar.
Mir geht es lediglich um den formalen Unterschied, inwiefern genau sich nun eine partielle von einer gewöhnlichen Differentialgleichung unterscheidet und wie es bei der genannten DGL aussieht.

01.04.2015, 20:37

nane

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RE: Frage zu Differentialgleichungen
Wink

densch,

Seien $\begin{eqnarray*} n,k,d\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I\subseteq\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Intervall. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} F:I\times(\mathbb{R}^d)^{n+1}\to\mathbb{R}^k \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} F(t,y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=0 \end{eqnarray*}$

heißt gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Und eine Funktion y die auf einem Teilintervall von $\begin{eqnarray*} I\times\mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ definiert ist und F erfüllt heißt Lösung der DGL.

Du hast also eine Funktion F in Abhängigkeit von einer anderen Funktion y und deren Ableitungen $\begin{eqnarray*} y',...,y^{(n)} \end{eqnarray*}$ und suchst nach der Lösung y.

Ist nun y von mehr als einer Variablen abhängig also $\begin{eqnarray*} y=y(t,x) \end{eqnarray*}$ kann bei eine solche Funktion F natürlich auch von partiellen Ableitungen von y nach x bzw y nach t abhängen.
Dann heißt die Funktion F - partielle DGL.

Die DGL heißt linear, wenn die (partiellen) Ableitungen nur in erster Potenz ( im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} \left(y'(t)\right)^2 \end{eqnarray*}$ oder so) vorliegen also
im gewöhnlichen Fall:

$\begin{eqnarray*} F(t,y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=a_n(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)y'(t)+a_0(t)y(t)+s(t) \end{eqnarray*}$

Dabei sind die $\begin{eqnarray*} a_k(t) \end{eqnarray*}$ stetige Koeffizientenfunktionen. Sind diese konstant, spricht man von einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten.

Bei dem Fall das die gesuchte Funktion y von mehr als zwei Variablen abhängt, sollte es sich iA um eine partielle DGL handeln.

jetzt mehr Licht??
nane

01.04.2015, 23:44

densch

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RE: Frage zu Differentialgleichungen
Erstmal Danke für die schöne Übersicht, nane. ^^

Durch einen Mathe-Prüfungstrainers, den ich gerade durchlese, ist mir ein gutes Beispiel eingefallen um meine Fragestellung etwas klarer darzustellen:

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Es sei die Gleichung (1) gegeben durch x+y=k mit irgendeiner Konstante k aus R.

Nun ist:
y=k-x und x=k-y

Weiter ist (in Differentialschreibweise):

dy/dx=-1 und dx/dy=-1

Nun bastle ich mir mittels dieser Informationen eine Differentialgleichung wie folgt:

y +dy/dx +x +dx/dy
=(k-x) -1 +(k-y) -1
=2k-2-y-x

Nun bringe ich alles auf die linke seite.

<=> 2y +dy/dx +2x +dx/dy -2k+2 =0 (2)

Somit haben wir eine Differentialgleichung (2) gefunden, die von der impliziten Funktion (1) erfüllt wird.

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Nun meine Frage:
Gehen wir den umgekehrten Weg. Angenommen, ich wüsste lediglich die Differentialgleichung (2), wie könnte ich dann daraus die Gleichung (1) bestimmen?

Also, wie könnte ich eine Differentialgleichung der Art (2) lösen?

Zusatzfrage: Wie geht man prinzipiell bei Differentialgleichungen der Art
f( y; dy/dx; x; dx/dy) =0 vor?
Also letztlich bei DGL, in denen sowohl Funktion y als auch ihre Umkehrfunktion x=y^(-1) mit entsprechenden Ableitungen vorkommen?

Zusatzfrage 2: Dass es grundsätzlich eine Differentialgleichung ist, ist offensichtlich.
Aber wie sieht es in so einem Fall mit partiell vs gewöhnlich, linear, konstanten Koeffizienten und Co. aus?
Oder gibt es diese Kriterien dort eventuell gar nicht?

PS: Ich hoffe, die Beispielrechnung oben hat mein Problem etwas besser verdeutlicht.
Ich habe oben den Weg von DGL zu Funktion vorgemacht und wüsste nun gerne den umgekehrten Weg, wie man von der DGL zur Funktion kommt.

02.04.2015, 08:53

Dopap

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das kommt mir irgendwie komisch vor.

Du verwendest x und y ohne Funktionssymbole. In der Vorgabe ist klar geregelt was die unabhängige Variable ( t oder x ) ist und die Funktionssymbole sind als Funktionen gekennzeichnet.
Ein Mischmasch ist nicht vorgesehen.

$\begin{eqnarray*} F(x,y(x))=... \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x(y) \end{eqnarray*}$ gibt es nicht.

Und wenn schon deine Differentialgleichung (2) dann doch so:

$\begin{eqnarray*} 2y(x) + y'(x) +\frac {1}{y'(x) } +2x -2k+2 =0 \end{eqnarray*}$

meiner Meinung nach.

Und: im vorhandenen x,y - Koordinatensystem stellt x(y) keine Umkehrfunktion dar.

03.04.2015, 11:01

densch

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Dann eben für die Hardcore-Formel-Fetischisten da draussen:

Ich definiere eine Funktion wie folgt: (mit y,k aus R)

k sei beliebig, aber fest

y := f(x) : R -> R
x -> k-x

Weiter sei die Umkehrabbildung wie folgt definiert: (mit x aus R)

x:= f^(-1) (y) : R -> R
y -> k-y

Desweiteren ist y'= -1 und x'=-1 .

Mit diesen Informationen basteln wir uns nun eine DGL wie folgt:

etc.etc. etc.

Den restlichen Scheiß könnt ihr euch alleine hinschreiben!!!

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Trotz der unglaublichen Hilfe hier,
bei dem sich die Leute eher an meiner Schreibweise aufgegeilt haben
und weniger Antwort auf die eigentliche Frage gegeben haben,
so bin ich doch aufgrund der unkommentierten Gleichung, die mir entgegen geworfen wurde,
auf eine Idee gekommen bzw. ich habe mich vielmehr an etwas erinnert:

ich habe mich an eine schöne Formel zum Thema Ableitung der Umkehrfunktion erinnert:

" Liegt eine umkehrbare Funktion der Form y = f(x) vor und ist zugleich x = g(y) die nach x umgeformte Darstellung dieser Funktion dann gilt:

g'(y)=1/f'(x)

"

Nun mein daraus folgender Gedankengang, wie man bei der schon öfters erwähnten Gleichung (2) vorgehen könnte:

1.Man geht davon aus, dass y=f(x) umkehrbar ist.
2. Man ersetzt in der Gleichung die Ableitung der Umkehrfunktion dx/dy mittels oben erwähnter Formel durch 1/f '(x) = (f'(x))^(-1) .
3. Man löst die Differentialgleichung und findet f(x) .
4. Der Vollständigkeit halber prüft man nun nach ob f(x) tatsächlich umkehrbar ist.
Ist dem nicht so, ist die ganze Lösung hinfällig und die DGL besitzt überhaupt keine Lösung.

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Frage 1: Stimmt diese Vorgehensweise?

@Everyone:
Diese Vorgehensweise sollte doch prinzipiell funktionieren oder?

Nun die neue Frage: (auf die hoffentlich diesmal auch geantwortet wird....)

Nach dem Schritt 2 habe ich Gleichung (2) ja tatsächlich in der Form

2*f (x) + f '(x) + 2x + (f '(x))^(-1) = 2k+2

Mal abgesehn davon dass man f'(x) nicht noch schön zusammenfassen kann,

müsste sich diese DGL doch wie folgt einteilen lassen:
a)Es ist eine gewöhnliche DGL .
b) Sie ist nichtlinear. (da f' (-1) als Potenz hat)
c) Wegen der Nichtlinearität fallen die anderen Kriterien wie konstante Koeffizienten und so weg.

Frage 2: Stimmt diese Einteilung?

Frage 3:
Wie würde man diese Differentialgleichung lösen?
Oder gibt es dazu gar keine analytischen Lösungsmethoden?

08.04.2015, 14:02

Everyone

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Zitat:

wie könnte ich eine Differentialgleichung der Art (2) lösen?

Sei (2) repräsentiert durch (dy/dx) + p(x) + (dx/dy) + q(y) = 0.

Hinweis auf den Lösungsweg:
dy/dx = u substituieren, beidseitig mit u multiplizieren, die dadurch entstandene quadratische Gleichung nach u auflösen, u=y' resubstituieren und die beiden enstandenen Differentialgleichungen lösen.

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