Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

31.03.2015, 09:38	sunny24a	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion und Verteilungsfunktion Hallo Zusammen, bei folgender Aufgabe bin ich mir absolut nicht sicher ob ich diese richtig gelöst habe. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und auch sagen wo ich falsch liege. Danke ! Aufgabe: Gegeben ist folgende Dichtefunktion: $\begin{eqnarray} f_{x}(x) = \begin{cases}1-x^2 \\-\frac{3}{2} x + 1 \\0 \end{cases} \begin{matrix} -1 \leq x \leq 0\\ 0 < x \leq \frac{2}{3} \\ sonst \end{matrix} \end{eqnarray}$ Frage 1: Gib die durch fx definierte Verteilungsfunktion Fx an Frage 2: Bestimme den Erwartungswert und Varianz Lösung zu Frage 1: $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = \int_{-\infty }^{t} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1. a < -1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = \int_{-\infty }^{t} \! 0 \, dx = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2. -1 \leq t \leq 0: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = \int_{-\infty }^{-1} \! 0 \, dx + \int_{-1}^{t} \! (1-x^2) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = -\frac{1}{3} t^3 + t + \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3. 0 \leq t \leq \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = \int_{-\infty }^{-1} \! 0 \, dx + \int_{-1}^{0} \! (1-x^2) \, dx + \int_{0}^{t} \! (-\frac{3}{2}x+1) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = -\frac{3}{4} t^{2} + t + \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4. a \geq \frac{2}{3}: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(t) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{x}(x) = \begin{cases}0 \\-\frac{1}{3} x^3 + x + \frac{2}{3} \\-\frac{3}{4} x^{2} + x + \frac{2}{3} \\1 \end{cases} \begin{matrix} x < -1\\ -1 \leq x \leq 0 \\ 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \\ x > \frac{2}{3} \end{matrix} \end{eqnarray}$ *** Lösung zu Frage 2: Erwartungswert: $\begin{eqnarray} E(X) = \int_{-1}^{0} \! x - x^3 \, dx + \int_{0}^{\frac{2}{3} } \! -\frac{3}{2} x^2 + x \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X) = -0,1760 \end{eqnarray}$ Varianz: $\begin{eqnarray} V(X) = E(X^{2} ) - (E(X))^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X^{2}) = \int_{-1}^{0} \! (1-x^2) x^2 \, dx + \int_{0}^{\frac{2}{3}} \! (-\frac{3}{2} x + 1) x^2 \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X^{2}) = 0,1580 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X) = -0,1760 \end{eqnarray}$ (Ergebnis Erwartungswert) $\begin{eqnarray} V(X) = E(X^{2} ) - (E(X))^2 = 0,1580 - (-0,1760)^2 = 0,1580 - 0,0310 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(X) = 0,1270 \end{eqnarray}$

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