Parallelotop/Parallelepiped

31.03.2015, 11:01

Stev3

Parallelotop/Parallelepiped

Meine Frage:
Ein herzliches hallo!

Ich muss das Volumen eines Parallelotops berechnen, dass durch

$\begin{eqnarray*} \vec{v_1} := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v_2} := \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v_3} := \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aufgespannt wird.

Meine Ideen:
Es handelt sich also um das Spatprodukt?

Man kann es also als Determinante einer 3 x 3 - Matrix ansehen werden und durch:

Das Volumen kann als Determinante einer 3×3-Matrix angesehen werden, welches man auch Spatprodukt nennt.

$\begin{eqnarray*} V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})| = |\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = |\vec{v_3} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})| = |\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} VE \end{eqnarray*}$

VE, also Volumeneinheiten, eine Zahl kann da nicht einfach stehen?

Wäre dankbar wenn mich jemand korrigieren könnte, oder meine Rechnungen bestätigen könnte.

Danke!

Steve

31.03.2015, 11:16

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parallelotop/Parallelepiped
Am Schluß wird es falsch.

Zitat:

Original von Stev3
$\begin{eqnarray*} V = |\vec{v_3} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})| = |\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}| \color{red}= \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} VE \end{eqnarray*}$

VE, also Volumeneinheiten, eine Zahl kann da nicht einfach stehen?

Das Volumen ist eine Zahl in Volumeneinheiten. Ob die Einheit extra erwähnt werden muß, hängt vom Charakter der Aufgabe ab. Bei abstrakten Aufgaben unterbleibt das oft. Bei konkreten Anwendungen, etwa wenn die Längen in Meter angegeben werden, ist 1 Volumeneinheit $\begin{align*} 1 \, m^3 \end{align*}$ .

31.03.2015, 11:32

Stev3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parallelotop/Parallelepiped
Ahso also einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{13} \end{eqnarray*}$ stehen lassen und eventuell im Antwortsatz dann schreiben, das Volumen beträgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{13} \end{eqnarray*}$ Volumeneinheiten? Die Berechnungen stimmen jedenfalls?

Danke für die Antwort!

Steve

31.03.2015, 11:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Berechnung stimmt nicht (siehe rot markierter Teil). Du hast das Skalarprodukt falsch berechnet. Es heißt deshalb "Skalarprodukt", weil der Produktwert ein Skalar ist.

31.03.2015, 11:54

Stev3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parallelotop/Parallelepiped
Wie traurig

Ahso ich war dann zu voreilig. Dann ist es

$\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}|= |0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3| = 13 \end{eqnarray*}$

Steve

31.03.2015, 12:00

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parallelotop/Parallelepiped

Zitat:

Original von Stev3
Ahso ich war dann zu voreilig.

Und nicht nur einmal.

$\begin{align*} 2+3=5 \end{align*}$

Die Betragszeichen stehen für den Betrag einer reellen Zahl.

Neue Frage »

Antworten »

Parallelotop/Parallelepiped

Verwandte Themen