Zentraler Grenzwertsatz

31.03.2015, 13:21	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentraler Grenzwertsatz Hallo, ich hab folgende Aufgabe zu lösen: Ich denke in dem Bsp. kann man sagen, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable X handelt: X=Anzahl Wiener als Ruderer anzutreffen Dann ist auch noch die Wahrscheinlichkeit p=0,15 bekannt, dass man einen Ruderer trifft von insgesamt n=5000 Wienern: Meine Idee: Diese Binominalverteilung aproximieren durch eine Normalverteilung...sollte nach dem zentralen Grenzwertsatz für hinreichend große n keinen Unterschied machen.... Mittelwert: $\begin{eqnarray} \mu=5000 \cdot 0,15=750 \end{eqnarray}$ Standardabweichung: $\begin{eqnarray} \sigma=\sqrt{np(1-p})=\sqrt{5000\cdot 0,15(0,85})=25,25 \end{eqnarray}$ Substituion: $\begin{eqnarray} u=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(u)=P(U\leq u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \int_{-\infty }^{u} \! e^{-\frac{1}{2}t² } \, dt \end{eqnarray}$ a) weniger als 500 Ruderer zu finden: $\begin{eqnarray} u=\frac{500-750}{25,25}=-9,900 \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} \phi(-9,90)-0=0 \end{eqnarray}$ mittels Tabelle rausgesucht... Es ist unmöglich weniger als 500 Ruderer zu finden...man kann nur mehr als 500 finden b) Gegenwahrscheinlichkeit von a)....daher 100 % mehr als 300 Ruderer von 5000 zu finden oder: $\begin{eqnarray} 1-\phi(u)=P(U\geq u) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=\frac{300-750}{25,25}=-17,82 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-\phi(,17,82)=1-0=1 \end{eqnarray}$ Kann man das so machen, was muss man noch ergänzen oder muss man eine andere Verteilung wählen (z.B. die hypergeometrische Verteilung, weil die Stichproben immer zurückgelegt werden in die Grundgesamtheit, was ja bei so hinreichend großen n keinen Unterschied macht) Danke [attach]37605[/attach]
03.04.2015, 11:36	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentraler Grenzwertsatz Hi, Ich wäre genauso vorgegangen, allerdings kann man bei der Approximation von stetigen Vert. um noch genauer zu werden mit der Stetigkeitskorrektur arbeiten. Das ändert aber natürlich nichts am Ergebnis. ( $\begin{eqnarray} 1-\phi(,17,82)=1-0=1 \end{eqnarray}$ gilt natürlich nicht exakt, die Ws ist nur sehr nahe an der 1).

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