Wert einer Reihe auf x-te Nachkommastelle bestimmen

01.04.2015, 13:33

Toasty

Wert einer Reihe auf x-te Nachkommastelle bestimmen

Meine Frage:
Ich soll herausfinden, wie viele Summanden man braucht, um den Wert der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{4}} \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ genau zu bestimmen.

Meine Ideen:
Ich weis, dass es dafuer eine Methode gab, die mir jedoch entfallen ist. Den genauen Wert kann ich ja ueber die geometrische Reihe erhalten. Das ist jedoch nicht gefragt.

01.04.2015, 14:18

RavenOnJ

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RE: Wert einer Reihe auf x-te Nachkommastelle bestimmen

Zitat:

Original von Toasty
Den genauen Wert kann ich ja ueber die geometrische Reihe erhalten.

Du meinst die allgemeine harmonische Reihe.

Wie wär's mit der Suche nach der Partialsumme, die nur weniger als ein 1/1000 voom exakten Wert $\begin{align*} \frac{\pi^4}{90} \end{align*}$ abweicht?

01.04.2015, 14:22

10001000Nick1

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Das ist keine geometrische Reihe, diese hätte die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ mit festem $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .
Den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, ist gar nicht so einfach (es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$ ).

Wenn wir die Anzahl der Summanden mit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bezeichnen, dann soll also gelten: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}-\sum_{k=1}^m \frac{1}{k^4}=\sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^4}\leq\frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ .

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^4} \end{eqnarray*}$ kannst du als Untersumme von $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [m,\infty) \end{eqnarray*}$ auffassen; es gilt also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^4}\leq \int_m^\infty \! \frac{1}{x^4} \, dx \end{eqnarray*}$ . Berechne mal dieses Integral, damit kannst du dann ein geeignetes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ finden.

Edit: Zu spät...

01.04.2015, 15:26

RavenOnJ

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^4} \end{eqnarray*}$ kannst du als Untersumme von $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [m,\infty) \end{eqnarray*}$ auffassen; es gilt also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^4}\leq \int_m^\infty \! \frac{1}{x^4} \, dx \end{eqnarray*}$ . Berechne mal dieses Integral, damit kannst du dann ein geeignetes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ finden.

Es geht darum, den minimalen Wert für m zu finden. Bei deiner Methode müsstest du ein minimales ganzzahliges m suchen, sodass $\begin{align*} \sum_{k=m+1}^\infty \frac{1}{k^4}\le\int_m^\infty \! \frac{1}{x^4} \, dx= \frac{m^{-3}}3\le \frac{1}{1000} \end{align*}$ , damit du sicher ein m hast, für das der Abstand zum wahren Wert der Reihe kleinergleich 1/1000 ist (Lösung: m=7).

Es könnte aber sein, dass schon m-1 Summanden reichen, da du nur die Untersumme des Integrals hast. Es hätte also sein können, dass schon $\begin{align*} \sum_{k=7}^\infty \frac{1}{k^4}\le \frac{1}{1000} \end{align*}$ .

Zu deinem Glück ist das hier nicht der Fall Augenzwinkern

.

Edit: Es ist:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^6 \frac{1}{k^4}\approx 1.0811235339506173 &< \frac{\pi^4}{90}-\frac 1 {1000}\approx 1.0813232337111383< \sum_{k=1}^7 \frac{1}{k^4}\approx 1.0815400270784807 \\ &< \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} =\frac{\pi^4}{90}\approx 1.0823232337111381 \end{align*}$

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