Abgeschlossener Range

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Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossener Range
Meine Frage:
Hallo!

Ich soll zeigen, dass für , wobei , gilt dass der range abgeschlossen ist.

Meine Ideen:
Meine Idee ist die folgende: Wähle eine Folge . Für gilt: . Falls , würde folgen, da abgeschlossen ist. Und wir wären fertig, da dann . Aber ich darf ja nicht einfach annehmen, dass . Was wäre eine bessere Idee?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Die Idee geht schon in die richtige Richtung. Wenn du zeigen kannst, dass die Folge der Urbilder konvergiert, wärst du also fertig.
Überleg dir zunächst, wieso das möglich ist, wenn ein Banach-Raum ist.
Für den allgemeinen Fall verwende auf die Graphen-Norm und zeige, dass damit doch zum Banach-Raum wird.


PS: "Range" heißt im Deutschen übrigens "Bild".
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Ist das so, weil in einem Banachraum jede absolut konvergente Reihe konvergiert?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Nein. In Banach-Räumen konvergiert aber (viel direkter – nach Definition) jede Cauchy-Folge.
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Ah ja, klar! Danke!

Kann ich dann einfach als Cauchy-Folge wählen? Dann würde es ja konvergieren und wir wären fertig.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Die sind durch die bestimmt. Du musst argumentieren, wieso sie eine Cauchy-Folge bilden.
 
 
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Wir haben angenommen, dass gegen konvergiert. Deshalb gibt es eine Cauchy-Folge so dass . Stimmt das so?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Noch nicht direkt. Aus der Konvergenz der muss noch nicht die Cauchy-Folgen-Eigenschaft der Urbildfolge folgen.
Wieso ist das hier doch der Fall?
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Da eben ein Banachraum ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Nein, das nutzt du später aus.
Zunächst hast du nur eine Folge von Bildwerten , die konvergiert. Nun geht es darum, zu zeigen, dass die (eindeutigen) Urbilder auch eine Cauchy-Folge bilden.
Dafür brauchst du noch gar nicht zu wissen, dass bzw. ob ein Banach-Raum ist.
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Für eine Cauchy-Folge brauchen wir ja folgendes:

.

Ich weiss echt nicht wie wir das zeigen können. Können wir schreiben, . Dann hätten wir . Deshalb ist eine Cauchy-Folge.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Zitat:
Dann hätten wir .

Wieso hätten wir das?

Ist dir schon in den Sinn gekommen, die Voraussetzungen zu benutzen, die wir hier haben?
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Das folgt weil .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Und wieso ist stetig?
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Wir wählten , das heisst . Definiere . Dann . Also für ein . Deswegen ist beschränkt und darum stetig.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Schon besser. Man könnte auch direkt abschätzen, ohne den inversen Operator zu verwenden.

Also: Die bilden eine Cauchy-Folge. Hast du den Rest auch hinbekommen?
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Wir haben ja jetzt gezeigt, dass eine Cauchy-Folge ist. Dann fehlt nur noch zu zeigen, dass ein Banachraum ist und deshalb konvergiert, oder?

Besten Dank für deine Hilfe!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Nicht ganz. Lies dir nochmal meine erste Antwort durch:
Zitat:
Original von Che Netzer
Überleg dir zunächst, wieso das möglich ist, wenn ein Banach-Raum ist.
Für den allgemeinen Fall verwende auf die Graphen-Norm und zeige, dass damit doch zum Banach-Raum wird.


Oder ist bei euch tatsächlich schon ein Banach-Raum?
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Nein, wir haben nicht angenommen, dass ein Banach-raum ist. Ich meinte, wir haben es einmal in der Vorlesung gezeigt, finde es aber nicht mehr. Kannst du mir bitte sagen, aus welchem Theorem es folgt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
verwirrt
Woraus was folgt? Dass mit der Graphennorm ein Banach-Raum ist? Das ist quasi die Definition eines abgeschlossenen Operators. Mit der urspruenglichen Norm muss keineswegs ein Banach-Raum sein.
Remo_91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossener Range
Vielen Herzlichen Dank für deine Hilfe!
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