E-Funktion

02.04.2015, 14:36

akamanston

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E-Funktion

hi

ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{kx^k}{k!} =xe^x \end{eqnarray*}$ ergeben wird.

aber ich weiß nicht wieso. wenn ich den index verschiebe kommt folgendes heraus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(k-1)x^{k-1}}{(k-1)!} =xe^x \end{eqnarray*}$

in der lösung steht folgendes: $\begin{eqnarray*} x\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} =xe^x \end{eqnarray*}$
ich versteh das nicht. ich dachte, dass ich das mit dem indexverschieben nun endlich richtig mache, aber iwas stimmt nicht.

02.04.2015, 14:55

Iorek

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Bevor man eine Indexverschiebung mache sollte man sich fragen, wieso man das macht.

Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}=e^x \end{eqnarray*}$ , wir haben hier aber eine andere Reihe vorliegen, also können wir das nicht direkt anwenden. Aber vereinfachen können wir zunächst mal.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{kx^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

Damit kann man jetzt weiterarbeiten, und der Exponentialreihe sieht das auch schon ziemlich ähnlich. Eventuell hilft hier ja eine Indexverschiebung weiter?

02.04.2015, 14:58

HAL 9000

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RE: efunktion
@akamanston

Deine Indexverschiebung geht in die "verkehrte" Richtung.

Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{kx^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

Für den Summanden k=0 im letzten Term muss ich auch dir den Kopf waschen. Teufel

Teufel

02.04.2015, 15:12

akamanston

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RE: efunktion
er hat ja nur umgeformt, das verstehe ich. das war auch der entscheidende punkt Big Laugh

Big Laugh

danke hierfür.

dennoch müsste ich nun entgegen "meiner indexverschiebungsformel" anders vorgehen.

wenn ich beim index k um eins verschieben will, dann addiere ich 1, d.h. k+1 unter und über der summe, gelichzeitig muss ich aber beim term die eins abziehen.

wenn ich das aber mache komme ich nicht auf das ergebnis. ich hab jetzt einfach so verschobven, dass das gewünschte ergebnis herauskommt:
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k+1}}{(k-1+1)!}=xe^x \end{eqnarray*}$

nach meine regel ist das aber falsch, ic hwürde es somachen
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{(k-1-1)!}... \end{eqnarray*}$

ich könnte mir das noch so erkären:
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=-1}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^{k+1}}{(k-1+1)!}=xe^x \end{eqnarray*}$

02.04.2015, 15:33

Iorek

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RE: efunktion

Zitat:

Original von HAL 9000
Für den Summanden k=0 im letzten Term muss ich auch dir den Kopf waschen. Teufel

Teufel

Yikes!

geschockt

Da fehlt ja ein ganzer Teil, den ich eigentlich geschrieben hatte und der die Indexverschiebung in die korrekte Richtung motivieren sollte.

Also Nachtrag bzw. wie es eigentlich hätte sein sollen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{kx^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

Damit kann man jetzt weiter arbeiten, und der Exponentialreihe sieht das auch schon ziemlich ähnlich. Allerdings haben wir hier im Nenner das Problem, dass wir für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (-1)! \end{eqnarray*}$ fertig werden müssten, also haben wir beim ersten Summanden ein Problem. Was ist denn aber der erste Summand? Könnte man den nicht irgendwie entfernen? Danach kann man kürzen und weiter arbeiten. Eventuell hilft hier ja eine Indexverschiebung weiter?

Und zur Indexverschiebung gibt es eine einfache Methode sich das zu merken: wird der Startwert um eins nach oben verschoben, muss man jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ ersetzen. Geht der Startwert um eins nach unten, wird jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ ersetzt. Salopp ausgedrückt: geht der Startwert hoch, geht der Rest runter und umgekehrt.

06.04.2015, 00:53

akamanston

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also wenn ich erhlich bin verstehe ich euren dialog kaum. danke trotzdem Big Laugh

Big Laugh

deine definition von indexverschieben bestätigt mich nur noch mehr. genau das habe ich doch gemacht

Zitat:

wird der Startwert um eins nach oben verschoben, muss man jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ ersetzen. Geht der Startwert um eins nach unten, wird jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ ersetzt. Salopp ausgedrückt: geht der Startwert hoch, geht der Rest runter und umgekehrt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{kx^{k} }{k!} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(k-1)x^{k-1} }{(k-1)!} \end{eqnarray*}$
nichts anderes mache ich doch hier.
das ist richtig:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{kx^{k} }{k!} = x\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{x^{k-1} }{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

ich verstehe nicht wohin das k aus dem zähler verschwindet.

Zitat:

Deine Indexverschiebung geht in die "verkehrte" Richtung.

was bedeutet verkerhrte richtung. die richtung ist im prinzip vorgegeben. ich muss von 0 auf 1 verschieben, damit die geometrische reihe erfüllt ist. und nach obiger und meiner definition muss ich den startwert um eins hochschieben und somit den rest (sämtliche k) um eins nach unten.

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06.04.2015, 10:43

Mathema

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Hast du dir den Nachtrag von Iorek durchgelesen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Damit kann man jetzt weiter arbeiten, und der Exponentialreihe sieht das auch schon ziemlich ähnlich.

Und wie man weiter vorzugehen hat, steht da auch wunderbar! Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2015, 18:34

akamanston

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Hilfe

da gibt es doch kein ersten summand, das problem hast du doch schon selber angesprochen. (0-k)! geht nicht.
ich kann das nun folgendermaßen verschieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0+1}^\infty \frac{x^{k-1}}{(k-2)!} \end{eqnarray*}$
oder so
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0-1}^\infty \frac{x^{k+1}}{k!} \end{eqnarray*}$

07.04.2015, 19:42

Iorek

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Was meinst du damit, dass es keinen ersten Summand gibt? Hast du dir meinen Nachtrag durchgelesen und das Problem deiner Umformung verstanden? Versuch doch mal die ersten Summanden der Reihen aus deinem letzten Beitrag mal mit Pünktchenschreibweise aufzuschreiben.

07.04.2015, 19:44

akamanston

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ich habs mehrfach durchgelesen=)
wtf ist pünktchenschreibweise

07.04.2015, 19:49

akamanston

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also
die summe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

darf man so nicht schreiben. weil der erste summand nicht definiert ist.

07.04.2015, 19:51

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(k+1)^2}{2^k}=\frac{1^2}{2^1}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\frac{4^2}{2^4}+\dots \end{eqnarray*}$

Und warum ist er nicht definiert? Und dann meinen Hinweis von oben: was ist der erste Summand in der Summe, wenn du noch nicht umformst?

07.04.2015, 19:53

akamanston

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ja weil doch (0-1)! nicht geht.

verschiebt man dann einfach k von 0 auf 1, damit die summe definiert ist?

07.04.2015, 19:55

Iorek

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Nein, einfach so verschieben darf man natürlich nicht.

Zitat:

Original von Iorek
Und dann meinen Hinweis von oben: was ist der erste Summand in der Summe, wenn du noch nicht umformst?

Schreib dir von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{kx^k}{k!} \end{eqnarray*}$ doch mal die ersten Summanden auf...

07.04.2015, 19:58

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Nein, einfach so verschieben darf man natürlich nicht.

gott sei dank. das hätte mich aber verrückt gemacht!

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von Iorek
Und dann meinen Hinweis von oben: was ist der erste Summand in der Summe, wenn du noch nicht umformst?

ja 0?

07.04.2015, 19:59

Iorek

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Was könntest du also in der Ausgangssumme mit diesem (nach der Umformung) störenden ersten Summanden machen?

07.04.2015, 19:59

akamanston

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es ist egal ob ich bei k=0 oder k=1 starte.

07.04.2015, 20:00

Iorek

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Dann hast du jetzt alles, was du zur Lösung der Aufgabe brauchst.

07.04.2015, 20:03

akamanston

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freue dich erst wenn das huhn das ei gelegt hat, und nicht, wenn es nur geackert hat Big Laugh

Big Laugh

07.04.2015, 20:09

akamanston

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RE: E-Funktion
ok, weil nun hier

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$

der nenner endgültig ist, kann ich nur noch durch ausklammern (auch nicht so einfach das zu sehen) von x meinen zähler der form des nenners anpassen (k-1) und somit ist dass dann e^x.

also die umformungen sind echt nicht so einfach. respekt an dich, keinen an mich

ciao danke dir Freude

Freude

07.04.2015, 20:13

Iorek

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RE: E-Funktion
Oder anstatt auszuklammern jetzt die Indexverschiebung durchführen.

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