Richtungsableitung mehrdimensional- Richtung des stärksten Gefälles

02.04.2015, 17:56

Bobby16

Richtungsableitung mehrdimensional- Richtung des stärksten Gefälles

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Man steht auf einem Hügel der durch folgende Gleichung beschrieben wird:
$\begin{eqnarray*} f(x)=10-x^{2}-y^{4} \end{eqnarray*}$ . Man selbst steht im Punkt P=(1,1,8)..
In welche Richtung muss man von diesem Punkt aus starten, wenn man in die Richtung des stärksten Gefälles absteigen will, d.h. fur welchen Einheitsvektor ¨ v ist ?vf(1, 1, 8) am kleinsten?

Hinweis: Verwenden Sie die Formel des Skalarproduktes fur Vektoren: ¨ u·v = |u||v| cos $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen den Vektoren u und v ist.

Meine Ideen:

zuerst habe ich die partiellen Ableitungen gebildet. Dadurch habe ich den Gradient erhalten der wie folgt aussieht:

Gradient von f: $\begin{eqnarray*} (-2x,-4y^{3}) \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich den Punkt (1,1,8) eingesetzt under erhalte dafür (-2,-4).

Wie muss ich jetz hier weiter vorgehen?

02.04.2015, 18:53

Dopap

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eigentlich gibt es hier nichts zu rechnen.

$\begin{eqnarray*} \nabla f(1,1)= \binom {-2}{-4} \end{eqnarray*}$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs.

demnach ist $\begin{eqnarray*} -\binom {-2}{-4}=\binom {2}{4} \end{eqnarray*}$ die Richtung des stärksten Abstiegs.
Aber mal weiter gefragt: welchen Wert hat das Gefälle?

02.04.2015, 19:13

Bobby16

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was meinst du mit welchem Wert hat das Gefälle? mehr als das hab ich leider nicht gegeben smile

02.04.2015, 19:59

Dopap

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Nun, wenn du in diese Richtung gehst, dann hat der Weg in (1,1,8) eine Steigung, Gefälle wie jeder andere Weg am Berg auch.

die Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray*} -\nabla f(1,1) \end{eqnarray*}$ beträgt:

$\begin{eqnarray*} s'_1=\frac {\binom {2}{4}}{\sqrt{20}} \cdot \binom {-2}{-4}=... \end{eqnarray*}$

Der erste Vektor ist der Einheitsrichtungsvektor, der zweite der Gradient.

03.04.2015, 00:49

python_15

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(1,1)= \binom {-2}{-4} \end{eqnarray*}$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs.

Warum gilt das?

03.04.2015, 01:51

Keq

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Grob ausgedrückt gibt dir der Gradient einfach an in welche Richtung die Funktion am stärksten ansteigt. Also auch in welche sie am stärksten abfällt, nämlich in die entgegesngesetzte. Der gradient alleine sagt dir nicht wie viel die funktion in welche richtung fällt oder steigt, lediglich die größte steigung /gefälle

und deshhalb bist du eig mit deinem gradient in 1/1 auch schon fertig, weil er dir schon sagt in welche richtung es in 1/1 am steilsten hoch und runter geht

03.04.2015, 05:18

Guppi12

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Zitat:

Original von python_15

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(1,1)= \binom {-2}{-4} \end{eqnarray*}$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs.

Warum gilt das?

Hallo,

der folgende Satz lässt sich leicht zeigen:

Für eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigt $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ stets in die Richtung des steilsten Anstiegs.

Allerdings glaube ich nicht, dass du das hier verwenden sollst, weil der Tipp in eine ziemlich andere Richtung zeigt.

Bevor man dir helfen kann, gibt es allerdings noch einiges in deinem Startbeitrag zu klären.

Der Text lässt darauf schließen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, denn nur eine solche Funktion kann einen Hügel beschreiben. Wieso steht das da nicht? Eine Funktion im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ kann man aber schlecht in $\begin{eqnarray*} (1,1,8) \end{eqnarray*}$ auswerten. Wie ist das zu verstehen?

Dann noch etwas zur Schreibweise: $\begin{eqnarray*} f(x)=10-x^{2}-y^{4} \end{eqnarray*}$ macht keinen Sinn, was ist hier das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 10-x^2-y^4 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber nur nebensächlich. Vorrangig solltest du dich mal um das Dimensionsproblem oben kümmern.

Wenn du dich darum gekümmert hast, geht es ja nun um das Problem, für welches $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ (mit Länge $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ) dann $\begin{eqnarray*} \langle \nabla f(x_0), v\rangle \end{eqnarray*}$ am kleinsten ist und dafür kannst du das für abstraktes $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mal in deine Formel fürs Skalarprodukt einsetzen.

03.04.2015, 09:26

Bobby16

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danke für deine Antwort, das mit der Dimension sthet wirklich so in der Angabe, ist dann wahrscheinlich ein Angabenfehler.

aber woher weis ich was ich jetzt für v einsezten muss, bzw. welche v's ich da jetzt testen soll :P

03.04.2015, 09:38

python_15

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Zitat:

Eine Funktion im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ kann man aber schlecht in $\begin{eqnarray*} (1,1,8) \end{eqnarray*}$ auswerten. Wie ist das zu verstehen?

Mit 8 ist wohl der Funktionswert gemeint, also ist der Punkt $\begin{eqnarray*} (1,1,f(1,1)) \end{eqnarray*}$ am Graphen .

03.04.2015, 16:47

Guppi12

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Gute Idee, Python15, danke.

@Bobby16: Setz zunächst mal beliebiges v dort ein. Also einfach einen Vektor, der v heißt und Länge 1 hat.

03.04.2015, 17:30

Guest10

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Das wäre dann:
$\begin{eqnarray*} u \cdot v = |u| \cdot \cos \alpha \end{eqnarray*}$
Was hilft mir das aber?

03.04.2015, 17:47

Guppi12

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Falls $\begin{eqnarray*} u = (1,1) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das richtig. Insbesondere hängt das ja nun nur noch von dem Cosinusterm ab und von sonst nichts. Für welchen Winkel Alpha wird denn der Cosinusterm am kleinsten?

03.04.2015, 17:55

Guest10

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Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 90° \end{eqnarray*}$ .
Sehe aber noch immer nicht worauf das hinausläuft...

03.04.2015, 17:56

Guppi12

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0 ist also kleiner als -1 ?

Edit: Übrigens wäre es schön, wenn du bei einem Namen bleibst und ihn nicht im Laufe des Threads änderst.

03.04.2015, 21:51

Dopap

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wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = 90° \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen Gradient und Richtung ist, dann ist das Skalarprodukt =Steigung = Null ( w.g. cos(90°) = 0 )

D.h. mein Weg am Hügel ist "eben" auch eine Köhenlinie genannt.

Ist der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha = \pi =180° \end{eqnarray*}$ dann ist das Skalarprodukt (w.g. cos(180°)=-1) minimal.

Und 180° bedeutet ja - wie schon bekannt - die Gegenrichtung zum Gradienten.

Das müsste doch soweit einleuchtend sein.

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