Faires Spiel?

03.04.2015, 15:26

winki2008

Faires Spiel?

Hallo, habe folgendes Übungsbsp. bekommen:

Zur Kontrolle ob ich wirklich richtig verstanden habe:

Würde man 5 mal hintereinander Kopf, oder 5 mal hintereinander Zahl werfen so gewinnt man:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^N}{2N} =\frac{2^5}{2 \cdot 5} =3,20 Euro \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis "5 mal Kopf" oder "5 mal Zahl" eintritt ist:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (\frac{1}{2} )^{N} = 2 \cdot (\frac{1}{2} )^{5}=1/16 \end{eqnarray*}$

a) Ist dann ber der Zufallsvariable rein der mögliche Gewinn gemeint: $\begin{eqnarray*} X_{N}=\frac{2^N}{2N} :N \geq 1 \end{eqnarray*}$

oder eher das "Risiko= Gewinn * Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereigniss" gemeint

das kommt mir irgendwie spanisch vor.

Danke für's Helfen!

[attach]37629[/attach]

03.04.2015, 15:48

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faires Spiel?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X_{N}=\frac{2^N}{2N} :N \geq 1 \end{eqnarray*}$

So wie ich die Aufgabe verstehe gilt das für $\begin{eqnarray*} N>1 \end{eqnarray*}$ .

Wie hoch ist denn die Ws für $\begin{eqnarray*} P(X=\frac {2^n}{2n}) \end{eqnarray*}$ ?

Dann kannst du auch einfach den E-Wert berechnen.

04.04.2015, 10:36

winki2008

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faires Spiel?
Danke, für deine Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, das man bei n Versuche (also n>1) X Gewinn macht ist:

$\begin{eqnarray*} P(X=\frac {2^n}{2n})=2 \cdot (\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen ist ja so definiert:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} {E}(X_{n})=\frac {2^n}{2n} \cdot 2 \cdot (\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

Bei n-Versuchen zahlt man $\begin{eqnarray*} {E}(X_{n}) \end{eqnarray*}$ ein, dann ist das Spiel fair oder?

04.04.2015, 11:02

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faires Spiel?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X=\frac {2^n}{2n})=2 \cdot (\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

Genau.

Auch deine Formel für den Erwartungswert stimmt.

E(X_n) macht jedoch keinen Sinn, da es ja um die Zufallsvariable X geht.

Also:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{n=2}^\infty\frac {2^n}{2n}\cdot \frac 1{2^{n-1}}=\dots \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bei n-Versuchen zahlt man $\begin{eqnarray*} {E}(X_{n}) \end{eqnarray*}$ ein, dann ist das Spiel fair oder?

So wie ich das verstehe:
Man zahlt eine Einsatz am Anfang und spielt dann los, wirft also die Münze bis man fertig ist.
Man zahlt also den Erwartungswert des Spiels, dann wird dieses als "fair" angesehen.

04.04.2015, 11:26

winki2008

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faires Spiel?
okay, stimmt...ich bin das mit x_(n) noch irgendwie wegen der Folgenschreibweise gewohnt...und das Summenzeichen beim Erwartungswert habe ich auch noch vergessen...aber ich denk ich kenn mich jetzt aus...

Dankeschön für das Helfen!

04.04.2015, 11:27

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Faires Spiel?
Was wäre denn ein "fairer" Einsatz?