Integral mit Residuensatz

03.04.2015, 19:58	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Residuensatz Hallo zusammen, ich habe mich eben an folgender Aufgabe versucht: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{xsin(x)}{1+x^2}dx \end{eqnarray}$ Ich bin wie folgt vorgegangen: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{xsin(x)}{1+x^2}dx =\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_R}\frac{zsin(z)}{1+z^2}dz \end{eqnarray}$ wobei Gamma der Halbkreis mit Radius R oberhalb der x-Achse ist zusammen mit der x-Achse. Ich musste aber feststellen, dass der Halbkreis nicht wie sonst gegen Null konvergiert: $\begin{eqnarray} =\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma_{R_H}}\frac{zsin(z)}{1+z^2}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{Re^{i\phi}sin(Re^{i\phi})}{1+iRe^{2i\phi}}Rie^{i\phi}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{R^2e^{2i\phi}sin(Re^{i\phi})}{1+iR^2e^{2i\phi}}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{R\to\infty}\frac{R^2e^{2i\phi}sin(Re^{i\phi})}{1+iR^2e^{2i\phi}}\pi \end{eqnarray}$ Mache ich etwas falsch oder gibt es einen anderen Weg? Danke!
03.04.2015, 20:50	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, zunächst mal ein Tipp: es ist hier denke ich leichter, zunächst das Integral $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{xe^{ix}}{1+x^2}dx \end{eqnarray}$ zu berechnen. Der gesuchte Wert ist dann der Imaginärteil davon. zweiter Tipp: verwende als Integrationsweg ein Rechteck mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray} R_1, R_1+iR_3, -R_2+iR_3, -R_2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} R_3 = R_1+R_2 \end{eqnarray}$ (mach dir ne Zeichnung). Und lasse dann $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ gegen unendlich gehen.
03.04.2015, 21:01	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hat mir schon sehr weitergeholfen. Ich kenne nämlich den Satz: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ holomorph auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ein punktietes Gebiet mit den isolierten, endlich vielen Singularitäten $\begin{eqnarray} z_k \end{eqnarray}$ in der oberen Halbebene. $\begin{eqnarray} \lim_{\|z\|\to\infty} f(z) = 0 \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{ix} dx= 2\pi i \sum\limits_{k=1}^{m}Res_{z_k}(f(z)e^{iz}) \end{eqnarray}$ Hatte ihn hier nur nicht in Betracht gezogen. Als $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ wähle ich dementsprechend $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x}{1+x^2} \end{eqnarray}$ Vom Ergebnis nehme ich dann den Imaginärteil. Bewiesen habe ich ihn natürlich schon ;-). Grüße
03.04.2015, 21:04	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz passt perfekt. Nur brauchst du den Imaginärteil, nicht den Realteil. Übrigens fehlt bei dem Satz, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ keine Singularitäten hat.
03.04.2015, 21:05	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinte ich doch .

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