Vektorielles Flächenintegral berechnen

04.04.2015, 16:33	Midna	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorielles Flächenintegral berechnen Hallo, ich würde gerne wissen, ob ich es richtig gemacht habe. Danke im Voraus! Gegeben ist ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, (x,y,z) \mapsto \left(\begin{array}{c} 2z \\ x+y \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_r:=\partial B_r(0)=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \| x^2+y^2+z^2=r^2 \} \end{eqnarray}$ Zu berechnen ist das vektorielle Flächenintegral $\begin{eqnarray} \int_{S_r}F \cdot \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ . Ich würde den Integralsatz von Gauß nehmen, weil ich dann über eine Vollkugel mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ integrieren kann. Ich rechne $\begin{eqnarray} \mathrm{div}F(x,y,z)=0+1+0=1 \end{eqnarray}$ und erhalte somit $\begin{eqnarray} \int_{S_r}F \cdot \mathrm{d}x=\int_{B_r(0)}\mathrm{div}F(x,y,z)\cdot \mathrm{d}x=\int_{\phi=0}^{2 \pi}\int_{\theta=0}^\pi \int_{r=0}^R 1 r^2 \sin \theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \end{eqnarray}$ Der Rest ist nicht mehr so wichtig, ich erhalte $\begin{eqnarray} \frac{4}{3}\pi R^3 \end{eqnarray}$ . Sind meine Schritte richtig, also darf ich Gauß benutzen? Immerhin sollte $\begin{eqnarray} S_r \end{eqnarray}$ eine Kugelschale sein.

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