Grenzwert aus der Definiion heraus zeigen-Wie? |
| 04.04.2015, 20:46 | MatheTobi94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Grenzwert aus der Definiion heraus zeigen-Wie? Ich soll den Grenzwert einer Folge aus der Grenzwertdefinition heraus zeigen. Ich weiß leider nicht, wie ich das als LaTeX-Code schreiben ann, deshalb formulier ich die Definition mal in Worten, so wie ich sie verstehe. Für alle Epsilon, die größer sind als 0 existiert ein N für das gilt: Der Betrag aus der Differenz eines Folgengliedes a_n und Grenzwert a ist kleiner als dieses Epsilon für alle n > N. Die Folge lautet 1/(2^n) Mein Bauch sagt, dass die Folge den Grenzwert 0 hat, da der Term nie negativ wird. Wie kann ich das ganze jetzt aus der Definition heraus zeigen? Mein Ansatz isterstmal, alles notwendige in die Definition einzusetzen: |1/(2^n) - 0| < epsilon für alle n > N Wie muss ich jetzt weiter forfahren? Liebe Grüße |
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| 04.04.2015, 21:28 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lies dir mal [WS] Folgen den Teil zur Wahl des durch, hilft dir das schon weiter? 
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| 04.04.2015, 21:48 | MatheTobi94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es geht :/ ich versuch's trotzdem mal: |1/(2^n) - 0| < e 2^n > 1/e n > log_2 (1/e) n > - log_2 (e) jetz habe ich nach n aufgelöst. Dieses n ist ja jetzt soetwas wie x bei f(x). Ich kann dieses Ergebnis aber nicht interpretieren 
Wie weit ist epsilon denn nun vom Grenzwert entfernt?Liebe Grüße |
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| 04.04.2015, 21:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Über das Epsilon kannst du keine Aussage treffen, ist alles was du gegeben hast. Dein Ergebnis stimmt aber. 
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| 04.04.2015, 22:16 | MatheTobi94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist ja schonmal gut dass das Ergebnis stimmt 
Wo genau beweise ich jetzt aber die Konvergenz? Ist es allein die Tatsache, dass das n existiert? Liebe Grüße |
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| 04.04.2015, 22:20 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, die Tatsache, dass du zu einem beliebigen ein passendes angegeben kannst, reicht für die Konvergenz aus. Ist dir die Definition der Konvergenz denn wirklich klar? Mir scheint, dass da eher die Probleme liegen... |
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| 04.04.2015, 23:49 | MatheTobi94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich verstehe das so: Es gibt im allgemeinen ersteinmal unendlich viele epsilons. Wenn eine Folge konvergiert, dann gibt es aber aber ab einem bestimmten n ein espilon, das größer ist als 0, das von keinem weiteren Folgenglied Überschriften wird. Wenn es FÜR ALLE weiteren n auch ein epsilon gibt, für das diese Bedingung gilt, dann konvergiert die Folge. So richtig? Liebe Grüße |
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| 05.04.2015, 01:39 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » |
eher nicht richtig. du gehst zu sehr auf die Rolle des Epsilons in Abhängigkeit von n ein. Diese ist aber künstlich herbeigeredet. Es besteht eine Abhängigkeit des n vom Epsilon. Erst kommt Epsilon beliebig (klein ). Dann bestimmst du das n ab dem alle Folgeglieder weniger als Epsilon vom vermuteten Grenzwert entfernt sind. Geschieht dies allgemein - wie in deinem Beispiel - dann ist der Automatismus gesichert. |
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| 05.04.2015, 11:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
siehe auch hier |
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| 06.04.2015, 11:50 | MatheTobi94 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super! Danke für die beiden Links. Hab beides nochmal sorgfältig durchgelesen und glaube das ganze jetzt verstanden zu haben. Beispiel: Ich möchte nachweisen, dass die Folge a_n = 2^n den Grenzwert 0 besitzt (was natürlich nicht der Fall ist), dann würde gelten: |2^n| < e n < lg2(e) Da Leopold ja darauf hingewiesen hatte, dass N von e abhängig ist, kann ich ja für e getrost 8 einsetzen. für n < 3 gilt also a_n <= 8 Wenn man das weiter fortführt, kommt man zu dem schluss, dass n mit kleiner werdendem e ebenso kleiner wird und deshalb die Grenzwertdefinition nicht erfüllt ist. Daher liegt keine Konvergenz vor. beim Beispiel 1/(2^n) gilt ja : |1/(2^n) - 0| < e 2^n > 1/e n > log_2 (1/e) n > - log_2 (e) egal welchen Wert man für e einstezt, die Bedingung, dass für kleinere e weiterhin ein n>n_0 gibt, ist stets erfüllt und deshalb konvergiert die Folge. Ist aus mathematischer Sicht wahrscheinlich sehr unpräzise aber so etwa ist es richtig, oder? Liebe Grüße |
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