Vektorraum

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winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Hallo, wie geht man bei folgenden Bsp. vor?

Könnt ihr mir vl. eine einfache Definition für einen Vektorraum geben:

Ich habe grob aufgeschrieben: Es handelt sich um einen Vektorraum, wenn die Addition mit Vektoren und die Multiplikation mit Skalaren (bzw. die Linearkombination) gegeben ist.

Also unter anderem: Kommutativ-,Distributiv-,Assoziativgesetz, Addition des Nullvektors, Multiplikation mit 1, Auflösen von Gleichungen erfüllt ist.

a) Wie beweist man es hier genau:

Mein Versuch:



Wenn man am Parameter herumschraubt, so ändern sich alle anderen Parameter automatisch, weil sie dieses Gleichnis stets erfüllen müssen...

andererseits könnte ich auch alle anderen Vektoren in diesem Vektorraum mit

darstellen

somit gehe ich davon aus, dass dieser Vektor 1 Dimensional ist

oder wie würde es ein Mathematiker sagen?

b)



Nagut würde man setzen:



aber es muss gelten bei



Beweis genug?....

c)

Ähnlich wie a)





wobei:



erfüllt ist

Vektorraum: 1. Dimensional kann jeden Vektor in diesem Raum abbilden

d) Kein Vektorraum:








bei






!!

e) müsste ein Vektorraum wein, wenn ich setze für , gilt das gleiche wie bei c)....1.Dimensional

f) analog e)

g) kann man umschreiben zu:



muss, ich mir noch überlegen...

Hab ich das richtig gemacht, oder ist das alles falsch?

DANKE

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Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eine klare Definition für den Begriff des Vektorraums, den Du in jedem gängigen Buch über Lineare Algebra, deinem Skript oder auch im Internet (z.B. über google-Suche, bei wikipedia usw.) findest.
Für deine Aufgaben ist aber nur der Begriff des Untervektorraums interessant, denn dafür musst Du nur drei Kriterien prüfen:

heisst Untervektorraum von V über dem Körper K, wenn folgende Kriterien erfüllt sind:







Deine Ideen scheinen in die richtige Richtung zu gehen, sind aber allesamt sehr unmathematisch, so dass es schwierig ist deinen Gedankengang zu folgen. Versuch mal die obigen drei Kriterien auf die vorgegebenen Mengen anzuwenden bzw. Dir zu überlegen, ob sie für die entsprechende Menge zutreffen könnten.
Wenn Du ein Gegenbeispiel findest, reicht das als Nachweis, dass Du keinen Vektorraum vor Dir hast. Falls es Dir schwer fällt ein Gegenbeispiel zu finden, dann versuch die Kriterien für diese Menge nachzuweisen.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Kommentar,

ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe, aber ich probier nochmal das Bsp. a)





1. Dimensionaler Vektorraum







wobei





Kann man das so machen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du näherst Dich langsam einer vernünftigen Lösung, aber so ganz reicht das noch nicht.

Beispielsweise behauptest Du in U1 nur, dass die Menge nicht leer ist (Das Zeichen ist übrigens nicht die Null, sondern die durchgestrichene Null, also oder auch . Um es zu beweisen, müsstest Du aber mindestens ein Element angeben, dass auch wirklich in der Menge liegt.

Bei U2 kannst Du zwischen deinem und keine Beziehung voraussetzen. Du scheinst von auszugehen, was aber hier nicht stimmt. Du hast es mit zwei völlig unabhängigen Variablen zu tun, denn es bezieht sich ja auf zwei Elemente der Menge und nicht auf die Koordinaten eines einzelnen Elements.
Richtig wäre der Ansatz

Bei U3 wäre ich etwas ausführlicher vorgegangen: Sei und , dann gilt
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke für das anschauliche herzeigen...schön langsam weiß ich was du meinst...ich werde dann es nochmals versuchen und meine Ergebnisse erneut hineinstellen...
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