Schwieriges Gleichungssystem lösen

05.04.2015, 17:05	Sammy91	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwieriges Gleichungssystem lösen Meine Frage: Hallo, ich habe für ein kombinatorisches Problem eine Rekursion aufgestellt und muss diese Rekursion nun lösen. Dafür muss ich in einem Zwischenschritt das folgende Gleichungssystem lösen: $\begin{eqnarray} g1: a(-\sqrt(2+\sqrt(3)))^1+b\sqrt(2+\sqrt(3))+c(-\sqrt(2-\sqrt(3)))+d\sqrt(2-\sqrt(3))=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g2: a(-\sqrt(2+\sqrt(3)))^2+b(\sqrt(2+\sqrt(3)))^2+c(-\sqrt(2-\sqrt(3)))^2+d(\sqrt(2-\sqrt(3)))^2=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g3: a(-\sqrt(2+\sqrt(3)))^3+b(\sqrt(2+\sqrt(3)))^3+c(-\sqrt(2-\sqrt(3)))^3+d(\sqrt(2-\sqrt(3)))^3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g4: a(-\sqrt(2+\sqrt(3)))^4+b(\sqrt(2+\sqrt(3)))^4+c(-\sqrt(2-\sqrt(3)))^4+d(\sqrt(2-\sqrt(3)))^4=11 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe es schon mit dem Programm maxima probiert, der gibt mir auch ein Ergebnis. Wenn ich das Ergebnis aber in die Gleichungen einsetze, stimmt es nicht. Edit (mY+): Wenn du Interesse daran hast, dass sich jemand mit deinem Thema befasst, dann setze wenigstens die LaTeX-Tags und schreibe die Wurzel als \sqrt, damit man das Konvolut wenigstens teilweise entziffern kann. Ich habe dies etwas modifiziert, wobei noch die Ausdrücke unter den Wurzeln zu bearbeiten wären ...
05.04.2015, 18:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung in DERIVE: [attach]37652[/attach] mY+
05.04.2015, 18:02	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich nur bestätigen
05.04.2015, 20:59	Sammy91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwieriges Gleichungssystem lösen Danke schonmal. Falls ich nochmal eine Frage stelle, gebe ich die Formel in LaTex-Form an. Zu dem Ergebnis: Wenn man das Ergebnis nun in die 2. oder 4. Gleichung einsetzt, dann kommt dort aber nicht 3 bzw. 11 heraus, oder mache ich irgendwas falsch?
05.04.2015, 21:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, offensichtlich machst du etwas falsch, was genau, wissen wir natürlich nicht. Ich habe gerade die Ergebnisse durch Wiedereinsetzen verifizieren können. [attach]37653[/attach] mY+
06.04.2015, 10:31	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
zur Ergänzung - und ganz zu Fuß : $\begin{eqnarray} a=b=\frac{3+\sqrt{3}}{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=d=\frac{3-\sqrt{3}}{12} \end{eqnarray}$
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07.04.2015, 00:50	Sammy91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Jetzt habe ich es auch hinbekommen.
07.04.2015, 11:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre interessant, das eigentliche Problem zu kennen, das zu diesem Gleichungssystem geführt hat. Die Koeffizientenmatrix ist ja modifiziert vom Vandermondeschen Typ. $\begin{align} A = \begin{pmatrix} -\omega & \omega & -\eta & \eta \\ \omega^2 & \omega^2 & \eta^2 & \eta^2 \\ -\omega^3 & \omega^3 & -\eta^3 & \eta^3 \\ \omega^4 & \omega^4 & \eta^4 & \eta^4 \end{pmatrix} \ \ \text{mit} \ \ \omega = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \, , \ \eta = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \end{align}$ Es sind $\begin{align} \omega \end{align}$ und $\begin{align} \eta \end{align}$ Kehrwerte voneinander: $\begin{align} \omega \cdot \eta = 1 \end{align}$ , und $\begin{align} \pm \omega, \, \pm \eta \end{align}$ sind die Nullstellen des Polynoms $\begin{align} x^4 - 4x^2 + 1 \end{align}$ . Die Determinante ist $\begin{align} \left\| A \right\| = \begin{vmatrix} -\omega & \omega & -\eta & \eta \\ \omega^2 & \omega^2 & \eta^2 & \eta^2 \\ -\omega^3 & \omega^3 & -\eta^3 & \eta^3 \\ \omega^4 & \omega^4 & \eta^4 & \eta^4 \end{vmatrix} = (-\omega) \cdot \omega \cdot (-\eta) \cdot \eta \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -\omega & \omega & -\eta & \eta \\ \omega^2 & \omega^2 & \eta^2 & \eta^2 \\ -\omega^3 & \omega^3 & -\eta^3 & \eta^3 \end{vmatrix} \end{align}$ $\begin{align} = (\omega \eta)^2 \cdot (-\omega - \omega) \cdot (-\omega + \eta) \cdot (-\omega - \eta) \cdot (\omega + \eta) \cdot (\omega - \eta) \cdot (-\eta - \eta) \end{align}$ $\begin{align} = 4 (\omega \eta)^6 \cdot \left( \omega^2 - \eta^2 \right)^2 = 4 \cdot 1 \cdot \left( 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} \right)^2 = 4 \cdot \left( 2 \sqrt{3} \right)^2 = 48 \end{align}$ Möglicherweise führt ein anderer Ansatz als dieses Gleichungssystem schneller zum Ziel.

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