Scharparameter mittels Ungleichungen bestimmen

05.04.2015, 20:24

Scharparameter mittels Ungleichungen bestimmen

Edit (mY+): Titelwahl "Bestimmen von a" ungünstig! Was soll man sich darunter vorstellen?
Bitte in die Titelwahl doch etwas mehr Gedankenarbeit investieren! Thementitel modifiziert.

Hallo alle zusammen,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f a;b(t)= 0,06*(0,25t^{4}-10,6t^{3}+at^{2})+b \end{eqnarray*}$

Definitionsbereich von f(t) : zwischen t=0 und t=14
(Ergänzung von mir: ) t=0 entspricht 7 Uhr ; t=14 entspricht 21 Uhr

Aufgabe:

Es sei a kleiner/gleich 125. In diesem Fall besitzt der Graph von f a;b genau ein relatives Maximum für t größer als 0 und t kleiner als 14.
Bestimmen Sie, für welche Werte von a kleiner/gleich 125 das Maximum zwischen 14 und 17 Uhr liegt.
(Ergänzung von mir: 14 Uhr entspricht t=7 ; 17 Uhr entspricht t= 10)

Meine Teillösung:

Um eine Maximalstelle/Hochpunkt zu berechnen brauchen wir die 1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f` a;b (t)= 0,06*(t^{3}-31,8t^{2}+2at) \end{eqnarray*}$

Diese setzen wir gleich 0 und rechnen t aus.

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} t1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t2= 15,9+\sqrt{15,9^{2}-2a } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t3= 15,9-\sqrt{15,9^{2}-2a } \end{eqnarray*}$

t1 und t2 liegt außerhalb des Definitionsbereichs (zwischen t=0 und t=14)
=> nur t3 liegt innerhalb des Definitionsbereichs und enthält das (globale) Maximum.

Damit das Maximum zwischen 14 und 17 Uhr liegt, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 15,9-\sqrt{15,9^{2}-2a } \end{eqnarray*}$ größer als 7
$\begin{eqnarray*} 15,9-\sqrt{15,9^{2}-2a } \end{eqnarray*}$ kleiner als 10

Frage:

So - weiter komme ich nicht. Bis zu diesem Punkt stimmt meine Rechnung auch mit den Lösungen überein, aber danach weiß ich nicht ( und versteh ich auch nicht) wie man auf a kommt.

Weiß mir jemand zu helfen?

Frohe Ostern an alle

05.04.2015, 21:00

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimmen von a
Guten Abend,

Du möchtest eine Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} 7<15,9-\sqrt{15.9^2-2a}<10 \end{eqnarray*}$

lösen. Das entspricht zwei Wurzelungleichungen, deren Lösungsmengen durch eine UND-Verknüpfung verbunden sind.

$\begin{eqnarray*} 7<15,9-\sqrt{15.9^2-2a}~\wedge~15,9-\sqrt{15.9^2-2a}<10 \end{eqnarray*}$

Zum Lösen von Wurzel(un)gleichungen musst Du

Poste mal, wie weit Du gekommen bist.

05.04.2015, 21:10

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

.

Edit: Zu spät, bei mir wurden 0 Antworten angezeigt ..

06.04.2015, 12:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Als Lösung habe ich nun heraus:

$\begin{eqnarray*} 86,8<a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 109>a \end{eqnarray*}$

Beide sind noch im $\begin{eqnarray*} Definitionsbereich: 126,405=a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Orginal von Bürgi
das Ergebnis einer Plausibilitätsprüfung unterziehen

Wie macht man das?
Was ist an 86,8<a und 109>a (nicht) plausibel?

06.04.2015, 15:37

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

Deine Lösung ist richtig. Ich würde sie allerdings so
$\begin{eqnarray*} 86,8 <a < 109 \end{eqnarray*}$
schreiben.

bei einer solchen Plausibilitätsüberprüfung geht man zurück zur Aufgabenstellung:

Zitat:

Es sei a kleiner/gleich 125.

und überprüft, ob die Ergebnisse laut Aufgabenstellung überhaupt möglich sind.
In diesem Fall ist das relativ einfach Augenzwinkern

. Manchmal bekommt man aber rechnerisch richtige Ergebnisse, die aber für die Beantwortung einer Frage nicht zu gebrauchen sind (z.B. eine negative Fläche, eine Temperatur unter -280°C, Körperlänge eines Menschen über 5 m, etc)

EDIT:

Zitat:

Beide sind noch im $\begin{eqnarray*} Definitionsbereich: 126,405=a \end{eqnarray*}$

Wenn das stimmen sollte, dann dürfte a nur genau $\begin{eqnarray*} \frac{25281}{200} \end{eqnarray*}$ groß sein, d.h., Deine Lösungen wären nicht zu gebrauchen. Tatsächlich habe ich zu Deinen Gunsten angenommen, dass Du meintest: $\begin{eqnarray*} Definitionsbereich: D=\{a|a<126,405\}_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$

06.04.2015, 20:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bürgi

Zitat:

Beide sind noch im $\begin{eqnarray*} Definitionsbereich: 126,405=a \end{eqnarray*}$

Genau so wie du das verstanden hast habe ich das auch gemeint.
Ich habe den Fehler schon vorher gesehen, aber konnte meinen Beitrag nicht mehr edditieren.

Frohe Ostern an alle

Neue Frage »

Antworten »

Scharparameter mittels Ungleichungen bestimmen

Verwandte Themen