Spektralpunkte von positivem Typ

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Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralpunkte von positivem Typ
Meine Frage:
Hey Leute!

Wir haben einen Spektralpunkt von positivem Typ ( ) so definiert:

Ein reelles ist ein Spektralpunkt von positivem Typ, falls für jede Folge mit gilt:

wobei .

Was wir tun sollen:

.

Zeige: .

Meine Ideen:
Folgendes hab ich mir überlegt: Falls muss . Also . Aber dann .

Was natürlich völlig falsch ist... Was muss ich denn dann tun?

Thanks
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Auf welchem Raum sind wir eigentlich in der Aufgabe? Sowas wie ?
In dem Fall können wir als Eigenvektoren von Vektoren bzw. wählen, wobei bzw. Eigenvektoren von bzw. sind.
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Wir sind in einem Hilbertraum . Also und .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
In dem Fall ersetze die Eigenvektoren oben durch approximative Eigenfolgen.
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Kann man die approximative Eigenfolge für so wählen:

mit und dann .

Dann wäre und .

Und darum ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Was ist denn ?

Ich dachte aber an einen anderen Ansatz: Zunächst ist natürlich .
Nun zeigt man, dass die Spektralwerte von positiven Typs sind, falls sie nicht auch Spektralwerte von sind. Die von sind aber keinesfalls welche.

Wenn Spektralwert von und von ist, wären allgemeine approximative Eigenfolgen nämlich nicht von der angegebenen Form (sondern eine Summe davon).


Was mich aber noch etwas stört (und wieso ich anfangs im sein wollte): Steht dort tatsächlich

Ich würde eher

erhalten.
 
 
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Hey!

Ja, es ist tatsächlich .

Meinst du mit "Wenn Spektralwert von und ist, wären die approximativen Eigenfolgen die Summe der angegebenen Form" folgendes:

Wähle eine Eigenfolge für und eine in , dann ist die Eigenfolge für die Summe derer von und .
Das würde mir einleuchten.

Was mir immer noch nicht einleuchtet ist:
Für und folgt .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, tun wir kurz so, als wäre jeder Spektralwert ein approximativer Eigenwert.

Ich stelle mir dann zwei Ansätze vor:
Ist , dann ist jede zugehörige approximative Eigenfolge von der Form .

Ist , so gibt es eine zugehörige approximative Eigenfolge der Form .


Zu meinem Problem: Lasst ihr in tatsächlich auch Spektralwerte zu, die keine approximativen Eigenwerte sind? Dann wäre jeder Spektralwert, der kein solcher ist, nämlich auch ein Spektralpunkt positiven (und negativen) Typs.
Mit als Shift-Operator auf z.B. müsste man den entsprechenden Spektralwert daher auch nicht entfernen.
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank für deinen Einsatz Che Netzer!

Wir betrachten ja nur reelle , das sind . Habe ich soeben festgestellt, dieses Problem ist also geklärt Freude

Dein Ansatz leuchtet mir ein, wieso folgt aber aus "jeder zugehörige approximative Eigenfolge ist von der Form ", dass ? Und aus , dass ?
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Che Netzer!

Ich habe das ganze nochmals durchdacht und habe mit deinem Ansatz folgendes:


jede approximative Eigenfolge ist von der Form , das heisst



und
für alle Eigenfolgen mit gilt . Das ist ein Widerspruch zu .

Stimmt das so?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Danke!
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Hey Che Netzer

Ich habe doch nochmals eine Frage:

Wir haben einfach angenommen, dass falls ist, ist. Theoretisch könnte ja aber sein.

Ok, falls , dann haben wir ja gesehen, dass sein muss.




.

Stimmt das?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Zitat:
Original von Lisa777
Wir haben einfach angenommen, dass falls ist, ist.

Das habe ich nie angenommen, sondern .
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Wieso dürfen wir das annehmen?

Falls , dann und deshalb und ?

Das heisst dann, dass wir doch keinen Fall vergessen haben.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Genau.
Lisa777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralpunkte von positivem Typ
Gilt sogar , auch wenn theoretisch unbeschränkt sein können?
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