Parametrisierung einer Lösungsmatrix eines LGS

06.04.2015, 16:35

balance

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Parametrisierung einer Lösungsmatrix eines LGS

Hallo,

Also, ich habe hier ein einfaches lineares Gleichungssystem gelöst, so dass ich die Matrix (die stimmt nach Lösung)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -2 & |0 \\ 0 & 1 & 2 & 3& |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0& |0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bekam.

Nun gilt es, die Lösungsmenge zu finden, dafür muss ich die Lösung parametrisieren. Ich hatte hier schonmal nen Thread, ich dachte, heute ist ein guter Zeitpunkt um das nachzulesen, doch ich rafs nicht. Überall heisst es nur "wir lesen die Lösung ab" etc.

Die Lösung wäre: $\begin{eqnarray*} \mathbb R (1, -2, 1, 0) + \mathbb R (2, -3, 0, 1) \end{eqnarray*}$

Frage: Wie kommt man, systematisch, auf die Einträge in den Vektoren? Ich persönlich kann garnichts aus der Matrix lesen.

06.04.2015, 17:50

Helferlein

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Du hast vorne den Anfang einer Einheitsmatrix. Die letzten beiden Spalten weichen ab, so dass sich hier unsere freien Variablen befinden.
Wir setzen diese beiden Koordinaten zunächst 0 und 1, danach 1 und 0. Der Rest ergibt sich aus den beiden Gleichungen der Matrix.

06.04.2015, 17:57

balance

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Jup, habs endlich gepeilt, danke und schöne Feiertage (falls noch welche sind)

06.04.2015, 19:21

balance

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Hmm, habe wohl doch noch n Problem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> -6 & 6 & 2 & -2 & |2 \\<br /> -9 & 8 & 3 & -2& |3 \\<br /> -3 & 2 & 1 & 0 & |1\\<br /> -15 & 14 & 5 & -4& |5<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wird zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> -3 & 2 & 1 & 0 & |1 \\<br /> 0& -1 & 0 & 1& |0 \\<br /> 0& 0& 0& 0& 0& |0\\<br /> 0& 0& 0& 0& 0& |0 \\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich ja wieder 2 freie variablen. Das seh ich an der Einheitsmatrix aber auch darann, dass der Rang 2 ist, ich aber 4 Variabeln habe.

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}- \\ - \\ 1 + 3t_1 - 2t_2 \\ t_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ So, x3 und x4 sind also meine eindeutigen Lösungen, die kriegt man ja sehr einfach dank der Einheitsmatrix. Nun muss ich aber noch x1 und x2 bestimmen, ich kann diese ja beliebig wählen, also wähle ich sie doch in Abhängigkeit von t3 bzw t4.

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix}t_3 \\ t_4 \\ 1 + 3t_1 - 2t_2 \\ t_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} +R \begin{pmatrix}1\\0\\3\\0\end{pmatrix}+R\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der 2 Vektor stimmt nicht, der müsste 1,1,1,1 sein, aber wieso?

07.04.2015, 00:05

Helferlein

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Sofern Du mit $\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_4 \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ meinst, ist deine Lösung völlig korrekt.

07.04.2015, 11:16

balance

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ich weis nicht mehr was ich da gestern dachte aber ja. t1 und 2 sind ja freie variabeln und t3 und t4 drücke ich durch diese aus.

Danke. Diese Lösung spannt mir die vollständige Lösungsmenge auf? Ich bin mir zwar sicher, aber frage lieber mal was zuviel.

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07.04.2015, 11:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von balance
Hier habe ich ja wieder 2 freie variablen. Das seh ich an der Einheitsmatrix aber auch darann, dass der Rang 2 ist, ich aber 4 Variabeln habe.

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}- \\ - \\ 1 + 3t_1 - 2t_2 \\ t_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ So, x3 und x4 sind also meine eindeutigen Lösungen, die kriegt man ja sehr einfach dank der Einheitsmatrix.

Offensichtlich hast du x_1 und x_2 als freie Variablen genommen. Das mag bei diesem Beispiel funktionieren, eine Garantie, daß das auch in anderen Fällen so klappt, ist das nicht. Mein generell gültiges Kochrezept geht so:

Wie bestimmt man bei einem LGS die frei wählbaren Variablen?

Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:

Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

07.04.2015, 11:43

balance

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"Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar."

Ich versteh nicht, was du mir sagen willst. Wie will eine freie Variable einem fixen Wert entsprechen? Ich glaube, du meinst einfach die Pivots?

Anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> 1 & 10 & 6 & |1 \\<br /> 0 & 8 & 5 & |7 \\<br /> 0 & 0 & 0 & | 0<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ist die freie Variable x3. Also muss ich x1 und x2 in abh. von x3 ausdrücken.

$\begin{eqnarray*} x_1=1-10x_2-6x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=7/8-5/8x_3 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_1=1-10(7/8-5/8x_3)-6x_3=8/8-70/8+50/8x_3-48/8x_3=-62/8+50/8-48/8x_3=-62/8+2/8x_3 \end{eqnarray*}$

Lösung: $\begin{eqnarray*} (-62/8, 7/8, 0) + \mathbb R (2/8, -5/8,1)=(-62, 7, 0) + \mathbb R (2, -5,8) \end{eqnarray*}$

Denke, das sitzt langsam, bin halt immer unsicher, weil das Buch immer was anderes kriegt und ich keinen vollständigen Weg habe, es aber ja nicht falsch sein muss. (Je nach umformung, ne)

Als beispiel wäre eine explizite lösung:
$\begin{eqnarray*} x_1=-62+2=-60 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=7-5=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=8 \end{eqnarray*}$

07.04.2015, 12:16

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Zitat:

Original von balance
Ich versteh nicht, was du mir sagen willst. Wie will eine freie Variable einem fixen Wert entsprechen? Ich glaube, du meinst einfach die Pivots?

Ja.

Zitat:

Original von balance
=> $\begin{eqnarray*} x_1=1-10(7/8-5/8x_3)-6x_3=8/8-70/8+50/8x_3-48/8x_3=-62/8+50/8-48/8x_3=-62/8-2/8x_3 \end{eqnarray*}$

Lösung: $\begin{eqnarray*} (-62/8, 7/8, 0) + \mathbb R (-2/8, -5/8,1)=(-62, 7, 0) + \mathbb R (-2, -5,8) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} x_1 = 1-10(7/8-5/8x_3)-6x_3 = 8/8 -70/8 +50/8x_3 -48/8x_3 = -62/8 +50/8x_3 - 48/8x_3 = -62/8 + 2/8x_3 \end{eqnarray*}$

Außerdem darfst du die spezielle Lösung des inhomogenen Problems nicht einfach mit irgendeinem Skalar multiplizieren. Also:
Lösung: $\begin{eqnarray*} (-62/8, 7/8, 0) + \mathbb R (2/8, -5/8,1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von balance
Hier ist die freie Variable x3. Also muss ich x1 und x2 in abh. von x3 ausdrücken.

Das kann man so machen, muß man aber nicht. Nach meinem Verfahren setzt du einfach x3 = 1 und ermittelst damit die allgemeine Lösung des homogenen Problems. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2015, 12:32

balance

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Es hatte einen Vorzeichenfehler oben, ich hab das korrigiert. Leider hast du schon zitiert. x_1 ist -60 nicht -64.

Naja, ich hab kein Plan von dem Zeug, mir ist z.B. das mit homogener und inhomogener Lsg absolut nicht klar. Ich muss mir entsprechendes Kapitel in nem Buch nochmal durcharbeiten, sonst wird das nichts. Leider finde ich kein gutes Buch dazu, überall wird es als "man siehts sofort" und "trivial" beschrieben oder so.

Du kansnt es auch gern erklären, was es mit der homogenen und inhomogenen Lösung auf sich hat.

Danke

07.04.2015, 12:54

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Zitat:

Original von balance
Es hatte einen Vorzeichenfehler oben, ich hab das korrigiert. Leider hast du schon zitiert. x_1 ist -60 nicht -64.

Trotzdem ist

Zitat:

Original von balance
Als beispiel wäre eine explizite lösung:
$\begin{eqnarray*} x_1=-62+2=-60 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=7-5=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=8 \end{eqnarray*}$

keine Lösung des GLS, wie man auch leicht nachrechnet. geschockt

geschockt

Nehmen wir nochmal dein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \left(\left.\begin{array}{ccc} 1 & 10 & 6 \\ 0 & 8 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right| \begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Das ist die Matrix zu einem inhomogenen GLS. Inhomogen deswegen, da auf der rechten Seite nicht der Nullvektor steht. Steht auf der rechten Seite der Nullvektor, so nennt man das GLS homogen. Die allgemeine Lösung eines inhomogenen GLS setzt sich nun zusammen aus einer speziellen Lösung des inhomogenen GLS und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen GLS.

07.04.2015, 13:08

balance

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Jup, ist keien Lösung.

Also, mir ist kalr was homogen und inhomogen bedeutet, was mir nicht klar ist, ist folgendes:

Zitat:

Ist die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystem nicht leer, dann ist sie ein affiner Unterraum von K^n. Sie hat dann die Form v + U, wobei U der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Gleichungssystems ist und v eine beliebige Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Ein inhomogenes Gleichungssystem ist folglich genau dann eindeutig lösbar, wenn der Nullvektor die einzige Lösung („triviale Lösung“) des homogenen Gleichungssystems ist. Insbesondere gilt entweder $\begin{eqnarray*} L = \emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{dim}(L) = n-r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r=\operatorname{Rang}(A) \end{eqnarray*}$ .

Mir ist die letzte Formel klar bzw. ich weis es halt. Was ich nicht wirklich sehe ist, wieso es ein Affiner Unterraum geben soll, sprich, wieso: Homogene Lösung + inhomogene Lösung = Lösung von inhomogenem Problem.

Ich hab das bis jetzt immer so betrachtet: Ich löse ein LGS, wie man es i nder Schule hatte. Kriegt dann einen Vektor im Stil von (a + bt) wobei t die variable ist, b deren Koeff. und a ein skalar. Nun kann ich halt auch einfach die skalare in einen neuen Vektor ziehen, das erlaubt mir die Vektoraddition. Ich hab das nie wirklich als homogene, inhomogene Lösung betrachtet.

07.04.2015, 13:36

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Zitat:

Original von balance
Ich hab das bis jetzt immer so betrachtet: Ich löse ein LGS, wie man es i nder Schule hatte.

Nun ja, die Schulzeit ist ja jetzt wohl rum, oder? Big Laugh

Big Laugh

Also die Trennung in homogen und inhomogen ist durchaus sinnvoll und macht die Sache (ausnahmsweise) auch etwas einfacher. Die Lösungen des homogenen Problems bilden einen Unterraum (man nennt diesen auch "Kern"). Hat man also eine Basis des Kerns, dann hat man auch alle Lösungen des homogenen Problems. Betrachten wir mal das inhomogene Problem M * x = b. Ist v nun eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems (also M * v = b) und u ein Element des Kerns (also M * u = 0), dann ist:
M * (v + u) = M * v + M * u = b + 0 = b
Mithin ist also jedes v + u mit u Element des Kerns eine weitere Lösung des inhomogenen Problems.

Umgekehrt: ist w eine weitere Lösung des inhomogenen Problems, so ist w - v ein Element des Kerns, denn es ist: M * (w - v) = M * w - M * v = b - b = 0
Es gibt also ein u aus dem Kern mit w - v = u bzw. w = v + u.
Somit folgt: jede Lösung des inhomogenen Problems ist darstellbar mit einer speziellen Lösung des inhomogenen Problems und einer Lösung des homogenen Problems .

07.04.2015, 14:00

balance

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okay, ich glaube, damit kann ich arbeiten. Ich bin relativ schlecht in Linalg, irgendwie ging das unter. Ich werde heut mal einiges an Aufgaben durchackern und mitr das alles klar machen und mich ggf. wieder melden.

Eine Frage noch: Was ist eine spezielle Lösung? Was sollte mit das "speziell" sagen?

Danke jedenfalls, es ist mir um einiges klarer!

07.04.2015, 14:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von balance
Eine Frage noch: Was ist eine spezielle Lösung? Was sollte mit das "speziell" sagen?

Sozusagen ein "handfester" Vektor, der das inhomogene GLS löst. smile

smile

07.04.2015, 14:37

balance

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okay, gut, also eine Lsg eines inhom. Problems.

MIr fehlen schlicht Beispiele mit Lösungsweg, ich kann mir das durchlesen auf Wiki und Beweise etc. aber es dann effektiv lösen...

Möglich, dass du mir das hier mal durchrechnest?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}6 & 3 & -9 & |0 \\ 2 & 1 & -3 & |0 \\ -4 & -2 & 6 & | 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 & |0 \\ 0 &0 & 0 & |0 \\0 &0 & 0 & |0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.04.2015, 15:06

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Zunächst solltest du kein Gleichheitszeichen zwischen den Matrizen schreiben, denn die Matrizen sind nun mal im rein formalen Sinn nicht gleich. Und zu rechnen gibt es nicht viel. Offensichtlich sind x2 und x3 die freien Variablen. Den Rest solltest du eigentlich allein können. smile

smile

07.04.2015, 15:26

balance

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Nein, ich habe keinen Schimmer wie weiter. Ich weiss, dass x1 fest ist und x3 und x4 frei. Ich weis also, dass x1 von x2 und x3 abhängt. Aber ich kann damit nichts anfangen. Mir fehlt einfach ein richtig sauber durchgerechnettes Beispiel an dem ich mich mal orintieren kann, so dass ich meinen Fehler finde.

Klar, ich kann da hinstarren und sagen (1,1,1) ist Lösung, oder R(0,3,1) ist Lösung oder (3,0,2) ist Lösung etc. aber das hat ja kein System, da denk ich mir nicht viel dabei. Das ist gerate, und ich will kein gerate, ich will System. Ich will wissen was ich mache und wieso ich es mache, ich möchte math. argumentieren können. Jetzt gerade, kann ich das alles nicht.

Ich suche einfach ein Beispiel dass mal richtig durchgerechnet ist, leider habe ich nur Aufgaben mit der Lösung.

Der Rest ist eben mein Problem das ich versuche zu lösen aber ohne ein Beispiel ist es schwer.

Ich nehme auch gerne Buchtipps entgegen.

07.04.2015, 16:07

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In einem vorigen Beitrag sagte ich doch schon, daß du einmal x2=1 und x3=0 und einmal x2=0 und x3=1 setzen und jeweils dann das x1 berechnen mußt.

07.04.2015, 16:31

balance

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oh - okay. Danke, ich kämpft mich weiter durch die Aufgaben, so schwer kann das ja nicht sein. Vielen Dank, hast mir auf jedenfall sehr weitergeholfen.

07.04.2015, 18:11

balance

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Zum Schluss möchte ich gerne mal ein Beispiel durchrechnen und alle Gedanken niederschreiben. Falls jemand Lust hat, kann ers kommentieren.

Hier was ich mache:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> 5 & 4 & 3 & | 0\\<br /> -4 & -8 & -3 & | 0 \\<br /> 2 & 0 & 1 & | 0 \\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Vertausche 1 und 3 Zeile
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 & 1 & | 0 \\<br /> -4 & -8 & -3 & | 0 \\<br /> 5 & 4 & 3 & | 0\\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Addiere 1. Zeile 2mal zur 2 & sub. 1. Zeile 2.5mal von der 3.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 & 1 & | 0 \\<br /> 0 & -8 & -1 & | 0 \\<br /> 0 & 4 & 0.5 & | 0\\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Vertausche zweite und dritte Zeile und addiere 2. 2mal zur 3.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 & 1 & | 0 \\<br /> 0 & 4 & 0.5 & | 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & | 0\\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Rechne 2 Zeile mal 2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 & 1 & | 0 \\<br /> 0 & 8 & 1 & | 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & | 0\\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Okay, der Rang ist 2, ergo habe ich 1 freie Variable. Ich habe herausgefunden, dass die 3. Gleichung (bzw. die welche jetzt an der 3. stelle war) linear abhängig war jedoch die anderen 2 linear unabhängig sind.

Hier fehlt mir der systematische Ansatz, irgendwie mache ich einfach was.

Also, was ist gesucht? Gesucht ist eine Basis welche die Lösungsmenge aufspannt. Die Lösungsmenge ist von der Form: $\begin{eqnarray*} c + x_1(vektor)+x_2(vektor)+x_3(vektor) \end{eqnarray*}$ , da wir ein homogenes Problem haben, ist c 0. Der Grund ist, wenn man es geometrisch überlegt, dass sich ja alle im Nullpunkt schneiden. (Daher macht's auch Sinn, dass ein inhomogenes LGS einen affinen Raum bildet, sprich c definiert ist)

Hier habe ich eine freie Variable (x3), also sieht meine Lösung so aus: Vektor*x3.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich rechne nun x1 x2 in abhängigkeit von x3 aus, da dies ja meine freie variable ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-0.5\\-1/8\\1<br /> \end{pmatrix}x_3 \end{eqnarray*}$ Ich habe hier x3=1 gesetzt, da ich bei x3=0 nur die triviale Lösung (0,0,0) bekommen hätte, daher muss man 1 nehmen. (oder sonstige beliebige Zahl).

Es fällt auf: Ich hab ein kleines Durcheinander mit den Variablen. Mir ist irgendwie nicht klar, wo mein Fehler liegt.

Jedenfalls kann ich sagen, dass die Lösungsmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \begin{pmatrix}-4\\-1\\8<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird. Für x3 kann ich ja bel. Zahl einsetzen, daher ganz R.

Das Ergebnis müsste stimmen. Diesen Vektor dürfte ich noch mal 8 rechnen.

Danke nochmal für die HIlfe, war wohl ein wenig mühsam, auch wenn das Problem an sich wohl eher trivial ist. (Naja, zumindest für die meisten anderen :P )

08.04.2015, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von balance
Hier fehlt mir der systematische Ansatz

Diesen hatte ich - wie schon gesagt - weiter oben beschrieben: setze die freie Variable gleich 1 und rechne den Rest aus. In deiner weiteren Rechnung hast du das ja dann auch gemacht.

Zitat:

Original von balance
Hier habe ich eine freie Variable (x3), also sieht meine Lösung so aus: Vektor*x3.

Um das Durcheinander von freien Variablen und Parameter in der Lösung zu vermeiden, würde ich statt x3 zum Parameter lambda_3 greifen. Somit hat die Lösung die Form lambda_3 * Vektor. In meinen Augen ist diese Parameterform aber nur überflüssiger Schreibkram. Man gibt einfach die Basisvektoren des Lösungsraums an und gut ist.

08.04.2015, 12:44

balance

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Naja, unsere Lösung geht sogar noch ein bisschen weiter mit der Formalismus.

Aber gut, dann passt das ja. smile

smile

Das hat lange gedauert ... :P Danke für die Geduld.

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