Verständnisfrage zur Faltung (f(ax) * g(bx) = ?)

06.04.2015, 21:08	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
*Verständnisfrage zur Faltung (f(ax) g(bx) = ?)** Hallo zusammen ... Ich knobel gerade mal wieder an einem kleinen Problem, welches mein Verständnis der Faltungsoperation in Frage stellt Die Faltung ist ja folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} \left( f \ast g \right)(t) = \int_{\mathbb R } \! f(\tau)g(t-\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nun aber gestaucht/gestreckt sind, sie also als $\begin{eqnarray} f(ax) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(bx) \end{eqnarray}$ schreibe, wie sieht dann das Faltungsintegral aus? (a und b sollen reelle Konstanten sein) $\begin{eqnarray} \left( f(ax) \ast g(bx) \right)(x) = \int_{\mathbb R } \! f(a\tau)g(b(x-\tau)) \, d\tau \end{eqnarray}$ ? Oder doch eher: $\begin{eqnarray} \left( f(ax) \ast g(bx) \right)(x) = \int_{\mathbb R } \! f(a\tau)g(bx-\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ ? Intuitiv empfinde ich die erste Version als logischer. Aber ich kann es nicht begründen. Ansatzpunkte habe ich leider keine. Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr einen guten Tipp für mich habt
06.04.2015, 21:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Verständnisfrage zur Faltung (f(ax) g(bx) = ?)** Man faltet Funktionen, keine punktweisen Werte. D.h. die gestauchten/gestreckten Funktionen sind auf R definiert durch $\begin{eqnarray} f_a(x) = f(ax); g_b(x) = g(bx) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} ( f_a g_b )(t) = \int_{\mathbb R} f_a(\tau) g_b(t - \tau) d \tau = \int_{\mathbb R} f(a\tau) g(b(t - \tau)) d \tau \end{eqnarray*}$ .
07.04.2015, 13:07	Mandel	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Verständnisfrage zur Faltung (f(ax) g(bx) = ?)** Vielen Dank für die Antwort! Hast mir sehr weiter geholfen

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