Superpositionsprinzip

07.04.2015, 00:53

Sammy91

Superpositionsprinzip

Hallo, ich versuche gerade das Superpositionsprinzip zu beweisen. Allerdings hake ich und komme einfach nicht weiter.

Der Satz:
Seien $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\dots \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Lösungen einer linearen, homogenen Rekursion mit konstanten Koeffizienten, dann ist auch
$\begin{eqnarray*} x_n=c_1x_1+c_2x_2+\dots \end{eqnarray*}$
eine Lösung der Rekursion.

Der Anfang meines Beweises:
Seien $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\dots \end{eqnarray*}$ Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^k-\alpha_1x^{k-1}-\alpha_2x^{k-2}-\dots=0 \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} x_n=c_1x_1+c_2x_2+\dots \end{eqnarray*}$ in die Gleichung ein:

$\begin{eqnarray*} <br /> & &x_n^k-\alpha_1x_n^{k-1}-\alpha_2x_n^{k-2}-\dots <br /> &= &(c_1x_1+c_2x_2+\dots)^k-\alpha_1(c_1x_1+c_2x_2+\dots)^{k-1}-\alpha_2(c_1x_1+c_2x_2+\dots)^{k-2}-\dots<br /> &= &(c_1 ????<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich gern $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ ausklammern, geht das oder mache ich gerade alles falsch?

Edit Guppi12: Latex korrigiert so gut es ging. Es fehlte