Frage zu Normalverteilung

07.04.2015, 15:18

Tipso

Frage zu Normalverteilung

Hi,

Verstehe es hier nicht ganz, wie kommt man hier auf das richtige bzw. gesuchte Z??

Zitat:

Die Zufallsgröße Z ist standardnormalverteilt. Berechnen Sie P(|Z|<1.44). (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)

08.04.2015, 01:26

Dopap

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Z ist die standardnormalverteilte Zufallsvariable. Also $\begin{eqnarray*} p(Z\leq x )=\Phi(x) \end{eqnarray*}$

Nun, dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} q= p(|Z|<1.44)= p( Z \leq 1.44) - p(Z\leq -1.44) \end{eqnarray*}$

und das ist mit $\begin{eqnarray*} z_0=1.44 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=\Phi(z_0)- \Phi(-z_0) \end{eqnarray*}$ und für Tabellenbenutzer:

$\begin{eqnarray*} q=\Phi(z_0)- (1-\Phi(z_0)) = 2 \Phi(z_0)-1 \end{eqnarray*}$

09.04.2015, 11:03

Tipso

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hallo

Bis hierher verstehe ich es
und das ist mit $\begin{eqnarray*} z_0=1.44 \end{eqnarray*}$

Danach nicht mehr verwirrt

09.04.2015, 15:14

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
Z ist die standardnormalverteilte Zufallsvariable. Also $\begin{eqnarray*} p(Z\leq x )=\Phi(x) \end{eqnarray*}$

soweit klar?

Nun, dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} q= p(|Z|<1.44)= p( Z \leq 1.44) - p(Z\leq -1.44) \end{eqnarray*}$

Das gilt allgemein für jede Zufallsariable.

$\begin{eqnarray*} q=\Phi(1.44)- \Phi(-1.44) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist die Verteilungsfunktion der standardisierten Zufallsvariable Z,

also $\begin{eqnarray*} E(Z)=0 \quad VAR(Z)=1 \end{eqnarray*}$

10.04.2015, 16:51

Tipso

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Der Betrag von einer Zahl ist die Zahl minus die Zahl wöre ja dann 0 oder?

lg

10.04.2015, 19:34

Dopap

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die Zahlen sind Argumente einer VerteilungsFunktion:

$\begin{eqnarray*} \Phi(x)= \frac {1}{\sqrt {2\pi}} \int_{-\infty}^x\, \exp(-\tfrac 12 t^2) \dd t \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt {2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\, \exp(-\tfrac 12 t^2) \dd t =1 \end{eqnarray*}$

demnach ist $\begin{eqnarray*} \Phi(1.44) -\Phi(-1.44)= \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\bigg [ \int_{-\infty}^{1.44}\, \exp(-\tfrac 12 t^2) \dd t - \int_{-\infty}^{-1.44}\, \exp(-\tfrac 12 t^2) \dd t \bigg ] \end{eqnarray*}$

das Integral ist nicht elementar lösbar, deshalb gibt es $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ in Tabellenform.

und das ist der Plot des Integranden = Dichtefunktion.

Es geht um die Fläche von x=-1.44 bis x=1.44

15.04.2015, 00:34

Tipso

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Danke

$\begin{eqnarray*} q=\Phi(z_0)- (1-\Phi(z_0)) = 2 \Phi(z_0)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2* 0,87286 - 1 = 0.74572 \end{eqnarray*}$

15.04.2015, 01:22

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \Phi(1.44)=0.92507 \Rightarrow q=0.85013 \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

dein Wert passt zu $\begin{eqnarray*} z_0= 1.14 \end{eqnarray*}$ Lehrer

15.04.2015, 15:01

Tipso

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hi,

danke.

Dies bedeutet, in dem gesuchten Intervall befinden sich 85 % der Werte?

15.04.2015, 17:41

Dopap

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leider nein.

Z ist standardnormalverteilt und stetig.

$\begin{eqnarray*} Z: \mathbb R \to [0,1] \end{eqnarray*}$

man kann nicht sagen, dass das Intervall [-1.44,1.44] 85% von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Das ist Murks.

aber: 85% ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße Z einen Wert aus [-1.44, 1.44] annimmt.

10.05.2015, 17:16

tipsos

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Wo ist der Unterschied zwischen beiden Aussagen?
verwirrt

Hab ich da nen Logikfehler?

10.05.2015, 18:56

Dopap

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die werte von Z sind aus ganz R. Deshalb hat ein Intervall den Anteil Null.

Du musst schon Z erwähnen und zudem das Wort "Wahrscheinlichkeit" verwenden.

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