Lösen einer DGL mit Anfangswertproblem

07.04.2015, 17:50

jollepe

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Lösen einer DGL mit Anfangswertproblem

Hallo,

ich habe eine Aufgabe gegeben:

Lösen Sie das Anfangswertproblem:
$\begin{eqnarray*} <br /> x*y'-3y=x^2 \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} y(1)=5 \end{eqnarray*}$

Ich hätte versucht für y=5 zu setzen.
Dann erhalte ich nach Umformung:
$\begin{eqnarray*} <br /> y'=x+\frac{15}{x}<br /> \end{eqnarray*}$

Nur wie geht's jetzt weiter?

Gruß

07.04.2015, 17:57

grosserloewe

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RE: Lösen einer DGL mit Anfangswertproblem
Wink

Wink

so geht das nicht. Diese Aufgabe löst Du mit

Variation der Konstanten , die AWB setzt Du zum Schluß ein.

Teile dazu die Gleichung zuerst durch x

Löse zuerst die homogene Gleichung durch Trennung der Variablen.

Habt Ihr sowas behandelt?

07.04.2015, 17:59

jollepe

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Bei uns hieß das ganze "Trennung der Variablen". verwirrt

verwirrt

Aber wenn ich X von Y trennen möchte, bekomme ich immer wieder Probleme mit der -3y auf der einen Seite. traurig

traurig

Wie würde der erste Schritt in die Richtung "Trennung der Variablen" gehen?

Danke

07.04.2015, 18:01

grosserloewe

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Wink

Diese Aufgabe kannst Du nicht mit Trennung der Variablen lösen, aber mit Variation der Konstanten.

07.04.2015, 18:04

jollepe

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Hammer

Habe deinen Ratschlag befolgt (Term durch x teilen) und bin nun bei:
$\begin{eqnarray*} y'-\frac{3y}{x}=x \end{eqnarray*}$

07.04.2015, 18:07

grosserloewe

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Wink

Habt Ihr denn in der Schule Variation der Konstanten behandelt ?

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07.04.2015, 18:09

jollepe

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Vermutlich ja.
Hatte in diesem Semester jedoch den Fokus auf andere Vorlesungen.
Diese Aufgabenstellung ist Teil einer alten Probeklausur, welche jedoch leider ohne Lösungen daherkam. Ich versuche diese grade ein wenig nachzuvollziehen.

07.04.2015, 18:13

grosserloewe

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Wink

Ich darf hier keine Komplettlösungen abliefern , sonst werde ich für immer in meinen Käfig gesperrt.

smile

smile

Also löse zuerst die homogene Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y' - 3 \frac{y}{x} =0 \end{eqnarray*}$

07.04.2015, 18:57

jollepe

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Hoffe das kommt dem Lösungsweg nahe:

$\begin{eqnarray*} <br /> y'-3\frac{y}{x}=\frac{dy}{dx}<br /> -3 \int \! \frac{dy}{y} = \int \! \frac{dx}{x} +c<br /> -3*ln(y) = ln(x) +c<br /> y=-\frac{x}{3}+c<br /> \end{eqnarray*}$

Nun AWP einsetzen

$\begin{eqnarray*} <br /> 5 = -\frac{1}{3}+c<br /> c = \frac{16}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Nun:

$\begin{eqnarray*} <br /> y= -\frac{x}{3}+\frac{16}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Geht meine Rechnung in die richtige Richtung?

07.04.2015, 19:13

grosserloewe

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Wink

leider nein.

Setze:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} =3 \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

und nun Trennung der Variablen anwenden . laß bitte die AWB weg, die kommt erst ganz zum Schluß.

07.04.2015, 19:22

jollepe

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$\begin{eqnarray*} <br /> \int \frac{dy}{3y} = \int \frac{dx}{x}<br /> \frac{1}{3}*ln(y)=ln(x)+c<br /> ln(y)=3*ln(x)+c<br /> y=e^{3*ln(x)}*c<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

So?

07.04.2015, 19:30

grosserloewe

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Wink

Hier müssen aber Betragsstriche gesetzt werden. also z.B.

ln|y| und

ln|x|

das kann man noch weiter vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} y_{h} = C *x^3 \end{eqnarray*}$

Damit hast Du die Hälfte der Lösung.

Jetzt mußt Du noch die partikuläre Lösung bestimmen. Hast Du eine Idee?

07.04.2015, 22:22

jollepe

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Ich würde jetzt die homogene Lösung mit dem Anfangwert nehmen
und c berechnen.

$\begin{eqnarray*} <br /> y_{h}=c*x^3<br /> c=5<br /> y(x)=5*x^3<br /> \end{eqnarray*}$

08.04.2015, 07:09

grosserloewe

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Wink

$\begin{eqnarray*} y= y_{h} +y_{p} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt Du noch die partikuläre Lösung bestimmen.

Variation der Konstanten bedeutet, setze C=C(x)

$\begin{eqnarray*} y_{p} =C(x) *x^3 \end{eqnarray*}$

Bilde jetzt

$\begin{eqnarray*} y_{p} ' \end{eqnarray*}$

und setze Y_p und y_p' in die Aufgabe ein.

Bestimme jetzt C(x)

08.04.2015, 17:04

jollepe

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Wink

$\begin{eqnarray*} <br /> y_p = C(x)*x^3<br /> y_p' = 3*C(x)*x^2<br /> \end{eqnarray*}$

Was soll ich jetzt davon einsetzen?

08.04.2015, 17:15

grosserloewe

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Wink

C(x) ist keine Konstante , sondern hängt von x ab.

$\begin{eqnarray*} y_{p}'= C'(x) *x^3 +C(x) *3 x^2 \end{eqnarray*}$

Setze nun Beides (y_p und y_p ') in die Aufgabe ein und berechne C(x)

08.04.2015, 17:38

jollepe

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$\begin{eqnarray*} <br /> 3x^2*C(x)+x^3*C'(x) = C(x)*x^3<br /> 3*C(x)+x*c'(x)=x*C(x)<br /> C(x)*3+C'(x)*x=C(x)*x<br /> Koeffizientenvergleich<br /> x=3<br /> x=0<br /> \end{eqnarray*}$

Hammer

Hammer

08.04.2015, 17:45

grosserloewe

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Wink

nein das ist falsch.

Setzte das Ganze nochmal ruhig in die Aufgabe ein.
Dabei Kürzt sich der Ausdruck mit C(x) generell.

Du solltest erhalten:

$\begin{eqnarray*} C'(x)*x^3=x \end{eqnarray*}$

was nun sehr einfach zu integrieren ist.

08.04.2015, 17:53

jollepe

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Grundsätzliche Frage auf deine Aussage zu "(...) das Ganze in die Aufgabe einsetzen(...)"

Ich habe den homogenen Teil für y bestimmt.
Und mit y' die Ableitung der homogenen Lösung bestimmt.

Die Aufgabenstellung lautete eingangs:
$\begin{eqnarray*} <br /> x*y'-3y=x^2<br /> \end{eqnarray*}$

Setze ich für y und y' meine berechneten Werte ein?

Also folglich so?
$\begin{eqnarray*} <br /> x*(3x^2*C(x)+x^3*C'(x))-3(x^3*C(x))=x^2<br /> \end{eqnarray*}$

08.04.2015, 17:58

grosserloewe

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Wink

ja

smile

08.04.2015, 18:06

jollepe

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Wie muss ich jetzt
$\begin{eqnarray*} <br /> x^3*C'(x)=x<br /> \end{eqnarray*}$
integrieren?

08.04.2015, 18:08

grosserloewe

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Wink

zuerst durch

$\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$

teilen und dann kannst Du integrieren

08.04.2015, 18:13

jollepe

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$\begin{eqnarray*} <br /> C'(x)*x^3=x<br /> C'(x)=\frac{x}{x^3}<br /> C'(x)=\int\frac{1}{x^2}dx<br /> C'(x)=-\frac{1}{x}<br /> \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, dass ich hier so schwergänig bin. Hatten das in der Vorlesung glaube ich mit Ansatzfunktionen.

Forum Kloppe

Forum Kloppe

08.04.2015, 18:18

grosserloewe

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Wink

Stimmt .

das setzt du jetzt bei

$\begin{eqnarray*} y_{p} \end{eqnarray*}$

ein und erhälst

$\begin{eqnarray*} y_{p} = -x^2 \end{eqnarray*}$

Es ist y= y(h)+y(p)

Lösung ist also:

$\begin{eqnarray*} y= C *x^3 -x^2 \end{eqnarray*}$

08.04.2015, 18:23

jollepe

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Super vielen herzlichen Dank!!!

Eine Frage habe ich noch.
Wieso setze ich C' in y(p) ein?
Dort habe ich ja ein normales C stehen?

08.04.2015, 18:25

grosserloewe

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Wink

Wenn Diu C'(x) integrierst hast Du C(x)

08.04.2015, 18:27

jollepe

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Natürlich.... traurig

traurig

Aber jetzt kommt das hier - was ich hoffentlich auch mal richtig habe Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=C*x^3-x^2<br /> y(1)=5<br /> <br /> 5=C*1^3-1^2<br /> 5=C-1<br /> C=4<br /> y(x)=4x^3-x^2<br /> \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mich wirklich recht herzlich für deine Unterstützung. Vielen Dank dafür!!!

08.04.2015, 18:31

grosserloewe

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Wink

leider nicht

5= C-1

C=??

08.04.2015, 18:32

jollepe

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Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Wink

leider nicht

5= C-1

C=??

Klugscheißer Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Vertippt, C=6

08.04.2015, 18:34

grosserloewe

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Wink

sicher nicht, hab nur Deine Frage beantwortet.

Big Laugh

Big Laugh

also , Variation der Konstanten sind elementare Grundlagen.
Übe das noch selbst , wird oft geprüft.

19.04.2015, 18:35

jollepe

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Kann ich diese Aufgabe alternativ auch mit folgender Ansatzfunktion lösen?

$\begin{eqnarray*} <br /> x*y'-3y=x^2<br /> y'-3\frac{y}{x}=x<br /> <br /> mit <br /> <br /> a(x)=\frac{-3}{x}<br /> und <br /> b(x)=x<br /> \end{eqnarray*}$
geht es in diese Ansatzfunktion:
$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=e^{-\int{a(x)dx}}*(c+\int{b(x)*e^{\int{a(x)dx}}dx})<br /> y(x)=e^{-\int{-\frac{3}{x}dx}}*(c+\int{x*e^{\int{\frac{-3}{x}dx}}dx})<br /> \end{eqnarray*}$

19.04.2015, 19:12

jollepe

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Habe es mal durchgerechnet.
Komme aufs gleiche Ergebnis Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=e^{3*\int{\frac{1}{x}dx}}*(c+\int{x*e^{-3\int{\frac{1}{x}dx}}dx})<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=e^{3*ln(x)}*(c+\int{x*e^{-3*ln(x)}dx})<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=x^3*(c+\int{x*\frac{1}{x^{3}}dx})<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=x^3*(c+\int{\frac{1}{x^2}dx})<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=x^3*(c-\frac{1}{x}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> y(x)=x^3*c-x^2<br /> q.e.d<br /> \end{eqnarray*}$

19.04.2015, 21:46

grosserloewe

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Wink

Kann ich diese Aufgabe alternativ auch mit folgender Ansatzfunktion lösen?
---> JA

Das ist der 2. Weg eine DGL mittels Variation der Konstanten zu lösen.
(mit der Lösungsformel)
Das Ergebnis muß ja das Gleiche sein.
Es ist Geschmacksache, aber oft ist diieser Weg kürzer, schneller.

smile

smile

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