Kreuzprodukt Allgemeine Lösung

07.04.2015, 20:38	Aze	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt Allgemeine Lösung Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem bei der nachfolgenden Aufgabe. Es geht mir im Besonderen um a): [attach]37673[/attach] Meine Ideen: Leider keine wirklichen Ideen. Ich weiß zwar, dass unter der Annahme $\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot \vec{b}=0 \end{eqnarray}$ der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ senkrecht zur Ebene von $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ liegt und damit müsste ja auch $\begin{eqnarray} \vec{u}\cdot \vec{b}=0 \end{eqnarray}$ gelten. Ob mir diese Erkenntnis aber etwas bringt weiß ich nicht.
08.04.2015, 09:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar stehen die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ senkrecht und bilden somit eine Basis. Die Lösung $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ muss also eine Linearkombination dieser 3 Vektoren sein: $\begin{eqnarray} \vec u=\alpha_1 \vec a+\alpha_2\vec b+\alpha_3 \vec a\times \vec b \end{eqnarray}$ Gesucht sind die 3 Koeffizienten. Um diese zu gewinnen, multipliziere diese Gleichung nacheinander mit den 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ . Das ergibt wegen deren Orthogonalität folgende 3 Gleichungen $\begin{eqnarray} \vec u \cdot \vec a=\alpha_1 \|\|\vec a\|\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec u \cdot \vec b=\alpha_2 \|\|\vec b\|\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec u \cdot (\vec a \times \vec b)=\alpha_3 \|\|(\vec a \times \vec b)\|\|^2 \end{eqnarray}$ Stellt man jede dieser Gleichungen nach dem jeweiligen Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_k \end{eqnarray}$ um, und setzt diese in die obige Linearkombination ein, hat man die allgemeine Lösung. Der Spezialfall $\begin{eqnarray} \vec b=\vec 0 \end{eqnarray}$ muss extra behandelt werden. In diesem Fall ist die Lösung $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ parallel zum Vektor $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ .

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