Gruppenisomorphismus nachweisen

08.04.2015, 14:49	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenisomorphismus nachweisen Meine Frage: Hallo! Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (G,\cdot) \end{eqnarray}$ eine Gruppe. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (G,\diamond) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \diamond b := b\cdot a \end{eqnarray}$ eine zu $\begin{eqnarray} (G,\cdot) \end{eqnarray}$ isomorphe Gruppe ist. Meine Ideen: Ich soll also einen Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen finden. Habe es mit folgender Abbildung versucht: $\begin{eqnarray} f: (G,\diamond) \rightarrow (G,\cdot), f(g) = g^{-1}_\cdot \end{eqnarray}$ (Inverses in $\begin{eqnarray} (G,\cdot) \end{eqnarray}$ ). Diese Abbildung wäre ein Homomorphismus wegen: $\begin{eqnarray} f(a\diamond b) = f(b \cdot a) = (b\cdot a)^{-1} = a^{-1} \cdot b^{-1} = f(a) \cdot f(b) \end{eqnarray}$ Stimmt soweit? Habe nun aber Probleme, die Bijektivität zu zeigen, zuerst die Injektivität: Sei $\begin{eqnarray} f(a) = f(b), \, a^{-1} = a^{-1} \end{eqnarray}$ (in $\begin{eqnarray} (G,\cdot) \end{eqnarray}$ ). Wie genau kann ich nun aber daraus schließen, dass $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ (in $\begin{eqnarray} (G,\diamond) \end{eqnarray}$ )? Ich weiß doch nur etwas über das Inverse bzgl. der Verknüpfung in $\begin{eqnarray} (G, \cdot) \end{eqnarray}$ ...
08.04.2015, 15:04	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus nachweisen $\begin{align} f(b):=b^{-1}=a^{-1}=:f(a)\Rightarrow b^{-1}a= 1\Rightarrow a=b \end{align}$
08.04.2015, 15:32	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus nachweisen Ok, ich schließe die Gleichheit also in $\begin{eqnarray} (G,\cdot) \end{eqnarray}$ und somit sind die Elemente natürlich auch in $\begin{eqnarray} (G,\diamond) \end{eqnarray}$ gleich, danke.
08.04.2015, 15:37	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus nachweisen Damit ist aber nur die Injektivität gezeigt. Surjektivität folgt, wenn die Gruppe nur endlich viele Elemente hat. Was ist, wenn sie unendlich viele hat?
08.04.2015, 17:00	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus nachweisen Naja aber man findet ja zu jedem Element sein Urbild, indem man einfach sein inverses Element bzgl. $\begin{eqnarray} (\cdot) \end{eqnarray}$ nimmt, oder übersehe ich da was?
08.04.2015, 17:10	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus nachweisen Du übersiehst da nichts, aber schreiben muss man das trotzdem.
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08.04.2015, 17:16	python_15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus nachweisen Gut, danke für die Hilfe!

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