Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert

10.04.2015, 17:50

Verwirrt45

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert

Die Angabe ist folgende:

$\begin{eqnarray*} S_N (x) = \sum\limits_{k=-N}^{N} \frac{1}{x-k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

1) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} S_N (x) \end{eqnarray*}$ auf jedem kompakten Teilintervall [a,b] $\begin{eqnarray*} \subseteq \mathbb R \backslash \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen eine Funktion h(x) konvergiert.

Hinweis: Es gilt: $\begin{eqnarray*} S_N (x)= \frac{1}{x} + 2x \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{x^2-k^2} \end{eqnarray*}$ Begründung für Vertauschen von Limes und Differenzieren!

2) Berechne h(k+ 1/2) für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

3) Zeige durch Vergelichen beider Ableitungen, dass h(x)= $\begin{eqnarray*} \pi*cot( \pi *x) , x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Ich habe schon bei der 1. Nummer Probleme.

$\begin{eqnarray*} S_N (x)= \frac{1}{x} + 2x \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{x^2-k^2} \leq \frac{1}{x} + 2x \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{-k^2}= \frac{1}{x} +2x * (-\frac{\pi ^2}{6} ) = \frac{1-x^2* \pi ^2 }{3x} \end{eqnarray*}$ hilft nicht weiter...wie zeige ich am besten, dass es konvergiert?

10.04.2015, 18:15

IfindU

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RE: Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert
Bei der 1) sollte man bemerken, dass $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset \mathbb R \setminus \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} dist(x, \mathbb Z) \geq c > 0 \end{eqnarray*}$ gleichmäßig für alle $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ , für eine Konstante, die nur $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ abhängt.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{ \lceil b \rceil } \frac 1 { x^2 - k^2} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig beschränkt. Zu zeigen ist dann nur noch, dass $\begin{eqnarray*} \left( x \mapsto \sum_{ k = \lceil b \rceil + 1}^n \frac 1 { x^2 - k^2 } \right)_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} C^0 ( [a,b] ) \end{eqnarray*}$ darstellt.

Cauchy-Folge bedeutet $\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^n \frac 1 { k^2 - x^2 } \end{eqnarray*}$ wird uniform in x klein, wenn $\begin{eqnarray*} \lceil b \rceil + 1 \leq m \leq n \end{eqnarray*}$ gross werden. Und da tut es die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^n \frac 1 { k^2 - x^2 } \leq \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 - b^2 } \end{eqnarray*}$ .

11.04.2015, 00:50

Verwirrt45

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Danke für die nette Antwort!

Ich glaube ich verstehe jetzt das meiste. Einige Fragen hätte ich noch...

Wieso ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{ \lceil b \rceil } \frac 1 { x^2 - k^2} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig beschränkt?

Und warum ist $\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^n \frac 1 { k^2 - x^2 } \leq \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 - b^2 } \end{eqnarray*}$ ? Einfach, weil die zweite Reihe bis unendlich aufsummiert wird?

$\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 - b^2 } \end{eqnarray*}$ . ist konvergent, weil b konstant bleibt und $\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 } \end{eqnarray*}$ konvergent ist. Muss ich mich also gar nicht mehr um das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + 2x \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{x^2-k^2} \end{eqnarray*}$ sorgen, wenn ich schon weiß, dass die Reihe konvergent ist?

Und brauche ich nicht den genauen Grenzwert der Reihe, um die Funktion f zu berechen?

11.04.2015, 09:31

IfindU

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Tut mir leid wegen der Verwirrung: meine Argumentation gerade leider falsch ist. Ich bin immer von $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ ausgegangen. Damit muss $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} d = \max \{ b, -a \} = \max \{ |a|, |b| \} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \lceil b \rceil \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \lceil d \rceil \end{eqnarray*}$ ersetzt werden. Und da ich nicht durch alles ändern will: falls $\begin{eqnarray*} a,b < 0 \end{eqnarray*}$ kann man das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} [-b, -a] \end{eqnarray*}$ ersetzen und ändert den Wert der betrachteten Reihe offenbar nicht. Man setze dann $\begin{eqnarray*} \widetilde a = -b > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \widetilde b = -a > 0 \end{eqnarray*}$ , und man darf auf $\begin{eqnarray*} [\widetilde a, \widetilde b] \end{eqnarray*}$ arbeiten. Das heißt oBdA $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ und es sollte wieder alles passen.

Zitat:

Original von Verwirrt45
Wieso ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{ \lceil b \rceil } \frac 1 { x^2 - k^2} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig beschränkt?

Du summierst nur endlich viele Terme. Das einzige was passieren kann ist, dass (mindestens) ein Summand unbeschränkt wird. Man kann aber alle Summanden in Abhängigkeit von c beschränken. (Wenn x weit weg von allen ganzen Zahlen weg ist, so ist $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ weit weg von $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ und damit der Nenner weit weg von der 0. Damit bekommt man dann eine obere Schranke. Heißt die Abschätzung stimmt, weil wir über mehr und über größere Summanden summieren.

Zitat:

Original von Verwirrt45
Und warum ist $\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^n \frac 1 { k^2 - x^2 } \leq \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 - b^2 } \end{eqnarray*}$ ? Einfach, weil die zweite Reihe bis unendlich aufsummiert wird?

Zum einen das, zum anderen ist $\begin{eqnarray*} 0 < x \leq b < \lceil b \rceil \leq m \leq k \end{eqnarray*}$ . Und damit $\begin{eqnarray*} k^2 - x^2 \geq k^2 - b^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Verwirrt45
$\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 - b^2 } \end{eqnarray*}$ . ist konvergent, weil b konstant bleibt und $\begin{eqnarray*} \sum_{ k = m}^\infty \frac 1 { k^2 } \end{eqnarray*}$ konvergent ist. Muss ich mich also gar nicht mehr um das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + 2x \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{x^2-k^2} \end{eqnarray*}$ sorgen, wenn ich schon weiß, dass die Reihe konvergent ist?

Die Frage ist ja nur was für N gegen unendlich passiert, wenn x im Intervall rumspringen darf. Nun ist $\begin{eqnarray*} x \mapsto 1/x \end{eqnarray*}$ im Intervall stetig und hängt nicht von N ab. Damit kann man ihn ignorieren (sobald man die Cauchy-Bedingung untersucht, fällt der Summand deswegen weg). Die 2x sind ebenfalls so nett wie man sichs vorstellen kann. Hängen nicht von N ab und wenn man zeigen kann, dass die Reihe ab einem gewissen Folgenglied sehr klein wird (unabhängig von x), bleibt diese Schranke gut, auch wenn man mit 2x multipliziert (x ist aus einer beschränkten Menge!)

Zitat:

Original von Verwirrt45
Und brauche ich nicht den genauen Grenzwert der Reihe, um die Funktion f zu berechen?

Ich weiß gar nicht wie viel Theorie es dazu gibt die Grenzwerte von Reihen zu berechnen. Es gibt einige wenige ein Schema passt (Teleskopreihen, geometrische Reihen), einige wo man spezielle "Tricks" anwenden kann -- aber das wars schon von meinem Wissen drüber.

Und das schöne an Vollständigkeit (das ist der Raum der stetigen Funktionen auf einem Kompaktum) ist, dass man das nicht braucht um zu zeigen, dass etwas konvergiert. Es reicht das "Es sieht ja so aus als ob es konvergiert" (damit meine ich die Cauchy-Bedingung), ohne dass man weiß wo es genau landet.

Deswegen springen Analytiker auch immer vor Freude im Kreis, wenn man Vollständigkeit hat -- und weinen bitterlich, wenn sie mal weg ist Augenzwinkern

11.04.2015, 17:21

Verwirrt45

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Wow, danke, super! Big Laugh

Jetzt macht es Sinn smile

Könntest du mir vielleicht auch mit der nächsten Nummer helfen? Also mit "berechne h(k+ 1/2)" ? Kann ich da k+1/2 in der Reihe für x einsetzen?

11.04.2015, 19:29

IfindU

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Im Prinzip ja, aber ich würde es in die Folge S_N (vor dem Umformen um die Konvergenz zu zeigen) einsetzen und dann etwas umformen und dann N gegen unendlich laufen lassen.

Beachte aber unbedingt, dass die Variable k zu nennen einfach nur nach Problemen schreit, weil es nicht mit dem Summationsindex zu tun hat.

12.04.2015, 02:09

Verwirrt45

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Ich habe die Variable auf l umbenannt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-N}^{N} \frac{1}{1+1/2-k} = \sum\limits_{k=-N}^{0} \frac{1}{1+1/2-k} + \sum\limits_{k=0}^{N} \frac{1}{1+1/2-k} \end{eqnarray*}$

Wenn N gegen Unendlich geht, konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{N} \frac{1}{1+1/2-k} \end{eqnarray*}$ . Gilt das selbe dann auch für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-N}^{0} \frac{1}{1+1/2-k} \end{eqnarray*}$ ?

12.04.2015, 09:14

IfindU

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Weder noch konvergieren! Man hat die Reihe vorher umgeformt, damit man sieht, dass sie konvergiert. Beide Teilsumme an sich sind harmonische Reihen und damit divergent. Der Teil mit positivem k besitzt aber hauptsächlich negative Summanden, und der Teil mit negativem k besitzt positive Summanden.

Die Reihe an sich ist konvergent, weil sich die beiden netterweise in Schach halten. Die Idee den Grenzwert auszurechnen ist, dass wenn das x genau in der Mitte zwischen 2 ganzen Zahlen liegt (genau so wurde x definiert), man die Summen dort aufteilen kann und der m-te Summand nach der Zahl sich genau mit dem m-ten Summanden davor wegkürzt. Damit bekommt man Teleskopsummen-artig eine endliche Summe von Nullfolgen, die dann gegen 0 gehen.

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