Dreifaches Integral

10.04.2015, 18:06	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreifaches Integral Gegeben ist folgendes Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 ( \int_1^2 ( \int_1^2 z^{x+y} dx) dy) dz \end{eqnarray}$ . Bis jetzt hatten wir noch keine Übungsaufgaben zu mehrfachen Integralen, also bin ich etwas verwirrt. Wie löse ich so etwas am besten?
10.04.2015, 19:12	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreifaches Integral Dieses Integral löst Du von Innen nach Außen.Begiinne also zuerst mit dem dx Integral. Substituiere zuerst v=x+y Also habs mal schnell gerechnet.Du solltest auf den Wert 0.2527 kommen . Viel Spaß dabei
11.04.2015, 02:28	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also, ich habs mal versucht: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_{1}^{2} \! z^{x+y} \, dx <br /> <br /> x+y=v<br /> dx=dv<br /> <br /> \int \! z^v \, dv= \frac{z^v}{ln(z)}<br /> <br /> \frac{z^{x+y}}{ln(z)} \|_1^2 = \frac{z^{2+y}}{ln(z)}-\frac{z^{1+y}}{ln(z)} <br /> <br /> \int_1^2 \frac{z^{2+y}}{ln(z)}-\frac{z^{1+y}}{ln(z)} dy= \frac{z^4}{ln(z)^2} - \frac{z^3}{ln(z)^2} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das bis jetzt so? Das nächste Integral wäre dann ein uneigentliches Integral, weil ln(0) nicht definiert ist, oder?
11.04.2015, 08:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im vorliegenden Fall dürfte es wohl einfacher sein, die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, konkret sich zuerst der $\begin{align} z \end{align}$ -Integration zu widmen, d.h. $\begin{align} \int\limits_0^1 \int\limits_1^2 \int\limits_1^2 z^{x+y} ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z = \int\limits_1^2 \int\limits_1^2 \int\limits_0^1 z^{x+y} ~ \dd z ~ \dd x ~ \dd y \end{align}$ . Die Vertauschung per Fubini ist hier kein Problem, da der Integrand strikt positiv ist.
11.04.2015, 15:00	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich habe jetzt HALs Tipp ausprobiert und bin auf 0.252671539... gekommen-yay! Danke euch beiden!!
11.04.2015, 18:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal sollte man das exakte Ergebnis $\begin{align} 5\ln(5)+3\ln(3)-16\ln(2) \end{align}$ angeben, dann erst die zugehörige Dezimalbruchnäherung.
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