Integrationstheorie nicht-negative einfache Funktion

10.04.2015, 20:12	telli	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationstheorie nicht-negative einfache Funktion Meine Frage: Hallo, Ich befasse mich gerade mit der Integrationstheorie und zur Auffrischung wollte ich die Eigenschaften des Integrals für einfache nicht-negative Funktionen beweisen: Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak{A},\mu) \end{eqnarray}$ ein Massraum und $\begin{eqnarray} \varphi = \sum_{i=1}^m c_i \chi_{A_i} \end{eqnarray}$ eine einfache nicht-negative Funktion. Mit $\begin{eqnarray} A_i\in \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_i \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Das Integral ist dabei wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \int_\Omega \varphi d\mu:=\sum c_i \mu(A_i) \end{eqnarray}$ Ich möchte hier die Linearität des Integrals zeigen d.h. $\begin{eqnarray} \int_\Omega(\varphi_1 + \varphi_2)d\mu = \int_\Omega(\varphi_1)d\mu + \int_\Omega(\varphi_2)d\mu \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Anscheinend ist das Ganze trivial aber ich sehe es nicht ich habe versucht 2 einfache Funktionen zu definieren mit: $\begin{eqnarray} \varphi_1 = \sum_{i=1}^m a_i \chi_{A_i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi_2 = \sum_{i=1}^n b_i \chi_{B_i} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \int_\Omega(\varphi_1 + \varphi_2)d\mu = ...? \end{eqnarray}$ (Diser Schritt ist mein Problem) $\begin{eqnarray} \varphi_1 + \varphi_1 = \sum_{i=1}^m a_i \chi_{A_i} + \sum_{i=1}^n b_i \chi_{B_i} \end{eqnarray}$ ab hier geht es nicht mehr. Ich kann annehmen, dass $\begin{eqnarray} n>=m \end{eqnarray}$ und somit weiter wursteln: $\begin{eqnarray} \varphi_1 + \varphi_1 = \sum_{i=1}^m (a_i \chi_{A_i}+ b_i \chi_{B_i}) + \sum_{i = m+1}^{n}b_i\chi_{B_i} \end{eqnarray}$ weiter komme ich nicht
10.04.2015, 20:20	telli	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht lässt sich $\begin{eqnarray} \varphi_1 + \varphi_1 = \sum_{i=1}^m (a_i \chi_{A_i}+ b_i \chi_{B_i}) + \sum_{i = m+1}^{n}b_i\chi_{B_i} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \varphi_1 + \varphi_1 = \sum_{i=1}^m ((a_i + b_i )\chi_{A_i \cup B_i}) + \sum_{i = m+1}^{n}b_i\chi_{B_i} \end{eqnarray}$ schreiben.
10.04.2015, 20:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst versuchen die Summe als Treppenfunktion zu schreiben. D.h. du musst $\begin{eqnarray} c_i, C_i \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ messbar, disjunkt (!) und $\begin{eqnarray} \varphi_1 + \varphi_2 = \sum_{i = 1}^N c_i \chi_{C_i} \end{eqnarray}$ . Das wird sehr unschön. Überlege dir erst einmal, dass $\begin{eqnarray} A \cup B = (A \setminus B ) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B) \end{eqnarray}$ (jeweils disjunkt) und damit $\begin{eqnarray} \int a \chi_A + b \chi_B = a \mu(A \setminus B) + b \mu(B \setminus A) + (a+b) \mu(A \cap B) = \dots \end{eqnarray}$ . Damit kann man dann überlegen was $\begin{eqnarray} \int \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i} + b \chi_B \end{eqnarray}$ ist, und schließlich die allgemeine Summe. Es ist eigentlich mehr Mengen auseinander klamüsern als Analysis. Auch wenn ich mich frage, ob das nicht schöner gehen müsste...

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