Sigma-Algebra wofür? |
| 10.04.2015, 21:41 | AntonDieAmeise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Sigma-Algebra wofür? Wofür benötigt man in der Stochastik eine Sigma-Algebra? Meine Ideen: Soweit ich es verstanden habe,betrachtet man Sigma-Algebren da sich ein Wahrscheinlchkeitsmaß nicht sinnvoll für jede Teilmenge einer überabz. Menge definieren lässt. Nun kann aber eine Sigma-Algebra aus endlich vielen, abzählbar unendlich vielen oder überabzählbar unendlichen vielen (Teil)Mengen (Ereignissen) bestehen. Wenn eine Sigam-Algebra aus überabzählbar vielen Mengen besteht, was ist dann der Sinn dahinter? Oder hab ich das ganz falsch verstanden. Würde mich über jeden Hinweis/Antwort freuen. |
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| 10.04.2015, 22:14 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist im wesentlichen der Punkt hinter Sigma-Algebren. Die Sigma-Algebra hat alle Eigenschaften, um darauf ein Maß zu definieren. Man würde gerne jeder Teilmenge des Gesamtraums eine "Größe" zuordnen (i.a.W. auf der Potenzmenge eine Maß definieren), das geht aber bei überabzählbaren Mengen nicht mehr (z.B. Vitali-Mengen). Um jetzt noch ein sinnvolles Maß auf zu definieren nimmt man eine kleinere Sigma-Algebra als die Potenzmenge.
Ich versteh ganz ehrlich diese Frage nicht. Was für ein Sinn soll denn dahinter sein? Bzw. du scheinst hier irgendein Problem zu vermuten, dass du nicht aussprichst. |
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| 11.04.2015, 07:00 | AntonDieAmeise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke schon mal für deine Antwort.
Wenn die Sigma-Algebra aus überabzählbar vielen Mengen besteht, habe ich doch das gleiche Problem wie in der Ursprungsmenge, dass ich nicht sinnvoll ein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren kann? Beispielsweise ist ja die Potenzmenge immer eine Sigma-Algebra, aber der Potenzmenge der reellen Zahlen kann ich ja wieder kein Maß zuordnen. |
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| 11.04.2015, 08:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Anmerkung
Ich kenne kein einziges Beispiel einer abzählbar unendlichen Sigma-Algebra: Bei Potenzmengen nicht: - Die Potenzmenge einer endlichen Menge ist endlich. - Die Potenzmenge einer abzählbar unendlichen Menge ist überabzählbar. Und auch sonst nicht - kann man wohl auch beweisen, auch wenn es mir gerade nicht gewärtig ist. 
Das stimmt so nicht - die Borel-Sigma-Algebra beweist das Gegenteil. Übrigens: Die Potenzmenge von ist auch überabzählbar, und sämtliche diskreten Maße sind darauf sinnvoll definierbar. 
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| 12.04.2015, 15:13 | AntonDieAmeise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinte natürlich "abzählbar viele" Mengen, nicht "abzählbar unendlich viele". |
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| 12.04.2015, 15:18 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo siehst du denn den Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen? |
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| 12.04.2015, 20:22 | AntonDieAmeise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, war durch die Antwort von HAL 9000
Laut unserem Skript gibt es das aber auch. |
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| 12.04.2015, 20:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch Skripte können irren - in einem anderen Skript ist der Beweis dafür zu finden, dass es sowas nicht gibt: http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Ve...gma_Algebra.pdf (Satz 3) |
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