Determinante Spatprodukt und Lineare Abhängigkeit

11.04.2015, 15:19	muko46	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante Spatprodukt und Lineare Abhängigkeit Hallo, ich stehe gerade sowas von aufm Schlauch. Ich habe eine 3x3 Matrix, welche die Kovarianzmatrix dreier im gleichen Abstand zueinander Verschobener Sinusfunktionen darstellt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2}/2 & 0\\ \sqrt{2}/2 & 1& \sqrt{2}/2 \\ 0 & \sqrt{2}/2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Determinante von der Matrix ist 0. Aber welche Vektoren darin sind jetzt linear abhängig? Denn genau das sagt doch die Determinante aus. Im Falle dieser Matrix müssen zwei oder mehr Vektoren linear abhängig sein?
11.04.2015, 15:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da offensichtlich keine Vielfachen vorliegen, können nur alle drei zusammen abhängig sein. Ergo ist einer durch die anderen beiden darstellbar. Welche zwei Du nimmst, ist völlig egal.
11.04.2015, 19:41	muko46	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh mist, ja jetzt sehe ich es.... Noch eine Frage kann man denn sagen, dass der Wert des Spanprodukts in so einem Fall (in dem alle Vektoren linear abhängig sind) empfindlicher auf Änderungen der Parameter reagiert, als bei Matritzen, in denen alle Vektoren linear abhängig sind? Rein logisch betrachtet stell ich mir bei dieser Matrix vor, dass durch die Änderung nur eines Parameter das aufgespannte Voloumen schnell zunimmt. Wenn dagegen die Vektoren einer Matrix jeweils untereinander linearabhängig sind, müsste doch das Ändern nur eines Parameters nichts ausmachen? Das Spatprodukt wäre immernoch 0. Lässt sich das mathematisch belegen? Mir fehlt da etwas der Ansatz. Um es vielleicht wieder auf den konkreten Fall zu beziehen. Im ersten Fall habe ich wieder meine 3 Sinusfunktionen ( gleichermaßen Phasenverschoben) die Kovarianzmatrix ist wie im ersten Beitrag abgebildet. Wenn meine Sinusfunktionen jetzt mit weißschem Rauschen überlagert sind, welches ja vollkommen unkorreliert ist, müsste das Spatprodukt der Matrix je nach Rauschamplitude größer werden. Wenn ich jetzt 3 identische Sinusfunktionen habe ist die Kovarianzmatrix bekanntlich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ alle Vektoren liegen parallel. Mit erhöhung der Rauschamplitude wächst das Spatprodukt auch, aber doch langsamer? Gibt es hierfür eine mathematische Beschreibung.
11.04.2015, 19:44	muko46	Auf diesen Beitrag antworten »
Ps: das Rauschen ist natülich individuell für jeden Sinus...

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