Grenzwert (Potenzreihen)

21.08.2004, 11:16

Goosberry

Grenzwert (Potenzreihen)

Hallo,

habe ein kleines Problem bei der Grenzwertermittlung. Wie man einen Grenzwert ermittelt, ist mir ja schon klar....allerdings stoße ich bei der folgenden Aufgabe auf ein Verständisproblem.

Die Aufgabe bzw. der letzte Schritt lautet:

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid *\lim_{n \to \infty} \mid \frac{((n+1)*\sqrt{n+1})}{(n* \sqrt{n+2})} \mid \end{eqnarray*}$

Als Musterlösung wird angegeben, dass der letzte Ausdruck < 1 sein soll.
Wie kann man das sehen? Hilfe

Kann ja bei diesem Ausdruck nicht einfach durch die höchste Potenz aus dem Nenner kürzen.

Das Ergebnis lautet dann:

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid < 1 \end{eqnarray*}$

...somit ist die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x\in ]-1,+1[ \end{eqnarray*}$ konvergent, wobei die Untersuchung der Randwerte notwendig ist...

Grüße
Goosberry

21.08.2004, 12:12

Mazze

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Du musst einfach eine Standartgrenzwertuntersuchung für die Folge machen, stelle die Folge mal folgender Maßen um.

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid *\lim_{n \to \infty} \mid \frac{((n+1)*\sqrt{n+1})}{(n* \sqrt{n+2})} \mid \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \mid x \mid *\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}*\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} \end{eqnarray*}$

Beide Teilfolgen konvergieren gegen 1, daraus folgt das |x| < 1 sein muss. Offensichtlich verwendest Du das Quotientenkriterium, danach muss der Grenzwert der Folge an+1/an < 1 sein damit die Reihe konvergiert. So wurde x gewählt.

21.08.2004, 12:17

Mathespezialschüler

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RE: Grenzwert (Potenzreihen)
Willst du jetz den Grenzwert wissen, oder ob das ding <1 ist? Naja egal, ich geb mal nen Tipp, zieh einfach alles unter die Wurzeln:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}| \frac{(n+1)\cdot \sqrt{n+1}}{n\cdot \sqrt{n+2}}| = \lim_{n \to \infty}| \frac{ \sqrt{(n+1)^3}}{\sqrt{n^2(n+2)}}| = \lim_{n \to \infty}| \sqrt{\frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3+2n^2}}| \end{eqnarray*}$

und jetzt siehst du erstmal, dass dieser Ausdruck >1 ist, denn die zwei Summanden $\begin{eqnarray*} n^3+3n^2 \end{eqnarray*}$ sind schon größer als der Zähler $\begin{eqnarray*} n^3+2n^2 \end{eqnarray*}$ und dann addierst du ja im Zähler auch noch positive Zahlen.
Für den Grenzwert kannst du jetzt die höchsten Potenzen ausklammern... Augenzwinkern

PS: Warum ist das ganze eigentlich in Betrag gesetzt? n ist doch sowieso >0 verwirrt

, naja egal

21.08.2004, 12:21

Mazze

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Zitat:

PS: Warum ist das ganze eigentlich in Betrag gesetzt? n ist doch sowieso >0 , naja egal

Das rührt aus der tatsache das sie wohl den Konvergenzradius

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n}{\sqrt{n+1}}*x^n \end{eqnarray*}$

ermitteln will, und das macht sie anscheinend über die absolute Konvergenz. Dafür die Beträge.

21.08.2004, 12:38

Goosberry

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Erstmal vielen Dank für eure Hilfe! Habt mir echt weitergeholfen.
Das Problem war einfach mal wieder meine Blödheit Augenzwinkern

Ausdruck ist in Betrag gesetzt, weil ich das Quotientenkriterium angewendet habe.
Die Potenzreihe dazu lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{n*x^n}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mir einiges klar! Natürlich konvergiert der letzte Teil gegen 1.

Ich habe bloß die Aufgabe bzw. das Ergebnis falsch interpretiert...dachte der letzte Teil konvergiert gegen <1 (aber wie soll das ja auch gehen :P)

Die < 1 haben sich natürlich auf die Voraussetzung für Konvergenz des Quotientenkriteriums bezogen! Da der Ausdruck gegen 1 konvergiert und die Bedingung für Konvergenz lautet
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to inty} \mid \frac{an+1}{an} \mid < 1 \end{eqnarray*}$ .... folgt darauf, dass $\begin{eqnarray*} \mid x\mid <1 \end{eqnarray*}$ sein muss (damit dei Bed. erfüllt ist)

DANKE, DANKE, DANKE,....

Grüße
Goosberry

21.08.2004, 12:42

Mazze

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Schreib nächste mal die Potenzreihe direkt dazu, das verwirrt mich dann weniger. Augenzwinkern

Für diese Reihe ist dein Quotient nämlich richtig Big Laugh

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Grenzwert (Potenzreihen)

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