Endlichdimensionaler R-Vektorraum, Dimension, Basis

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Redneet Auf diesen Beitrag antworten »
Endlichdimensionaler R-Vektorraum, Dimension, Basis
Meine Frage:
Sei V:= R²,². Außerdem bezeichne +: R²,² * R²,² -> R²,² die übliche Matrix-Addition und *: R * R²,² -> R²,² die übliche Skalarmultiplikation.
a) Zeigen Sie: (V, +, *) ist ein endlichdimensionaler R-Vektorraum
b) Bestimmen Sie dim(V)
c) Geben Sie eine Basis von V an.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen muss, um zu einer Lösung zu gelangen. Ich weiß zwar, dass man zur Bestimmung der Dimension von V die Anzahl der Basisvektoren des Vektorraums benötigt.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Notation ist etwas verquer, ich nehme an du meinst:
Zitat:
Sei . Außerdem bezeichne die übliche Matrix-Addition und die übliche Skalarmultiplikation.


a) Vektorraumaxiome nachweisen.
Und die c) würd ich vor der b) machen. Oder gleichwertig: Du findest einen Isomorphismus und das n ist dann automatisch die Dimension von V.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mal angefangen mit dem ersten Vektorraumaxiom

siehe Anhang
[attach]37703[/attach]

Frage ist nun: Ist es so richtig mit dem Beispiel das Axiom zu beweisen? Oder liege ich gänzlich falsch.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist es so richtig mit dem Beispiel das Axiom zu beweisen?

Nein. Ein Beispiel ist nie ein Beweis.
Ein Beispiel kann eine Aussage nur widerlegen, nicht beweisen.


Ist dass das erste Mal, dass ihr Vektorraumaxiome nachweisen sollt?
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist das erste Mal.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn dieses "erste Axiom" konkret für diesen Fall?
(also allgemeiner VR eretzt durch den speziellen hier, abenso die Addition usw.)
 
 
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Axiom ist der Nachweis der Assoziativität.
Also (x+y)+z ist das selbe wie x+(y+z)

Oder wie meinst du das?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also (x+y)+z ist das selbe wie x+(y+z)

Das ist nicht die Assoziativität.
Denn du hast sämtliche Quantoren wegfallen lassen.
Was du beschreibst ist ein Term, das Axiom ist aber eine Aussage: Zwei komplett verschiedene Dinge.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, weil ich das Für alle x,y,z Elemente aus V vergessen habe? Oder was genau`?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Das Axiom lautet korrekt:



Was ergibt sich damit wenn man unser V und unser + einsetzt?

Quotetags durch Latextags ersetzt (Guppi12)
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Mir war schon klar, dass das Axiom so aussieht. Mir ist nur nicht klar, wie ich das beweisen soll ohne Beispiel.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mir war schon klar, dass das Axiom so aussieht.

Dann schreib das doch bitte auch.
Ich kann nicht hellsehen.


Und leider war meine Darstellung im letzten Post falsch, da sollte eigentlich

stehen

Zitat:
Mir ist nur nicht klar, wie ich das beweisen soll ohne Beispiel.
Wie ich bereits schrieb, geht das nicht mit dem Beispiel. Und ich versuche seit mehreren Posts dich darauf hinzuführen, wie das geht was leider bei dir nicht ankommt.


Ich hab jetzt bereits in mehreren Varianten dieses
Zitat:
(also allgemeiner VR ersetzt durch den speziellen hier, abenso die Addition usw.)

geschrieben, worauf du bis jetzt nicht eingegegangen bist. Was ist an dieser Aufforderung unklar?
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe einfach nicht, was du damit meinst.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sehen für unser V die Elemente/Vektoren (also die x,y,z aus der Aussage) aus?
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Da V = R²,² ist haben alle eine Form, wie

x= (x1 x2)
(x3 x4)

Das gleiche gilt für y und z.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

O.k.
und was ist dann (x+y) nach Def. der Matrixaddition?
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

(x1 x2) + (y1 y2) = (x1+y1 x2+y2)
(x3 x4) (y3 y4) (x3+y3 x4+y4)
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

So und jetzt den Spass für:
(x+y)+z
und x+(y+z)

und dann zeigen, dass beide Terme gleich sind.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nun meine Lösung. Hoffe die ist korrekt. Bin langsam nämlich am verzweifeln.
[attach]37705[/attach]
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gedanke ist wohl richtig, die Ausführung ist nicht optimal.

Was soll die Äquivalenz ausdrücken? (Da gehört ein = hin)

Und die Gleichheiten sollten begründet werden.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

An der Uni machen wir das mit dem Äquivalenzzeichen immer, wenn wir etwas was gleich ist schreiben, aber in der nächsten Zeile, weil es nicht mehr in die Zeile passt. Ich meine also wohl das "IST-GLEICH"-Zeichen.

Wie soll ich mir so eine Begründung vorstellen. Für mich ist das alles schon vorher klar gewesen.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Axiom II: Für alle x,y Elemente aus V
[attach]37707[/attach]
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für mich ist das alles schon vorher klar gewesen.

Und wieso hast du es dann nicht von Anfang an geschrieben?

Zitat:
An der Uni machen wir das mit dem Äquivalenzzeichen immer, wenn wir etwas was gleich ist schreiben, aber in der nächsten Zeile, weil es nicht mehr in die Zeile passt.
Ich hoffe nicgt, dass ihr das tut, denn das ist absoluter Unsinn.
Äquivalenz ist für Gleichheit von Aussagen, und das ist zwischen den Zeilen hier nicht sonderlich sinnvoll; insbesondere würde es was komplett anderes aussagen und das was du beabsichtigst.

Zitat:
Wie soll ich mir so eine Begründung vorstellen.

Die erste Gleichheit gilt z.B. nach Definition der Matrixaddition.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die ersten beiden Gleichheitszeichen sind dort aufgrund der Matrixaddition. Das dritte aufgrund der Assoziativität und das andere ist dann wieder Matrixaddition.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das dritte aufgrund der Assoziativität

Der Ass. von was?

Du willst hier doch Assoziativität der Matrixaddition nachweisen, die kannst du also nicht verwenden.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie genau mache ich das beim 3.Axiom.

Also beim Nachweis, ob es ein neutrales Element gibt.

Es gibt mindestens ein 0 Element aus V mit: x+0 = x = 0+x Für alle x Elemente aus V
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Kann irgendjemand helfen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und wie genau mache ich das beim 3.Axiom.

Also beim Nachweis, ob es ein neutrales Element gibt.

Indem du so ein (es gibt nur eines) Element hinschreibst.
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist jetzt die Lösung, hoffe jemand kann mir sagen, ob alles korrekt ist.
[attach]37721[/attach]
[attach]37722[/attach]
Redneet Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand helfen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlen weiterhin sämtliche Begründungen. Sowei beim neutralen Element einige +.
Beim Inversen Element steht im Endeffekt gar nichts da.
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