Grenzwert eines Integrals

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Hatschi Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert eines Integrals
Meine Frage:
Seien und -> eine Riemann-integrierbare Funktion. Gilt dann ?

Meine Ideen:
Rein intuitiv würde ich sagen, dass die Gleichung gilt, denn per Definition .
Wie kann man das formal zeigen?

Danke im Voraus!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

z.B. mit dem Sandwichtheorem (und ner Prise Lebesque-Kriterium der Riemann-Integrierbarkeit)
Hippocampus Auf diesen Beitrag antworten »



Oder einfach so... oder ist das nicht "formal"?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Hippocampus
Es ist richtig, falls f stetig ist. Ansonsten muss es keine Stammfunktion F geben, und der Hauptsatz natürlich nicht gelten.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Die Existenz einer Stammfunktion genügt sogar zusammen mit der vorausgesetzten Integierbarkeit. Stetigkeit ist nicht notwendig.

Sorry, bin ein Klugscheißer, ich weiß Augenzwinkern
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Dass ist, hilft Dir erst weiter, wenn Du gezeigt hast, dass in stetig ist. Das waere denn auch die Aufgabe.
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

@rg:
Zitat:
dass in stetig ist.

Und wie soll das gehen? Meines Erachtens ist diese Aussage nicht für beliebige Riemann-integrierbare Funktionen gültig.

[QUOTE]Dass ist, hilft Dir erst weiter,[/QUOTE
]Nein. Ich habe im ersten Post hier einen anderen Weg aufgezeigt ohne irgendeine Art von Stetigkeit.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Na, das Riemann-Integral als Funktion der oberen Grenze genommen, ergibt immer eine sogar Lipschitz-stetige Funktion. Folgt aus der Standardabschaetzung und der Tatsache, dass Riemann-integrierbare Funktionen stets beschraenkt sind.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
@rg: [QUOTE]dass in stetig ist.

Und wie soll das gehen? Meines Erachtens ist diese Aussage nicht für beliebige Riemann-integrierbare Funktionen gültig.

Die Aussage im Themenstart besagt doch genau, dass die Aussage für beliebige Riemann-integrierbare Funktionen gültig ist. Das ist ja genau die Stetigkeit.
Hatschi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich sehe, scheint das gar nicht so trivial zu sein. Das Lebesque-Kriterium und die Standardabschätzung haben wir noch nicht kennengelernt.
Ich versuche, die eigentliche Aufgabe einfach auf einem anderen Weg zu lösen.
Danke für eure Hilfe! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Na, das Riemann-Integral als Funktion der oberen Grenze genommen, ergibt immer eine sogar Lipschitz-stetige Funktion

Das gilt meines Wissens nur für Regelfunktionen.
Ist stetig in x?

@nofeykx:
Zitat:
iDie Aussage im Themenstart besagt doch genau, dass die Aussage für beliebige Riemann-integrierbare Funktionen gültig ist. Das ist ja genau die Stetigkeit.

Da hast du Recht. Damit ist aber der Vorschlag von rg komplett sinnfrei, irgendwie hatte ich gehofft, dass da wenigstens irgendwas dran ist.

@Hatschi:
Zitat:
Wie ich sehe, scheint das gar nicht so trivial zu sein.

Ich weiß nicht wovon, du das ableiten willst.

Zitat:
Das Lebesque-Kriterium
Du brauchst nur die Beschränkteit der R.I. Funktionen. Vielleicht habt ihr das bereits gezeigt.
Zitat:
und die Standardabschätzung

Erstens: Sowas gibt es nicht.
Zweitens: Wer redet hier davon?

Zitat:
Ich versuche, die eigentliche Aufgabe einfach auf einem anderen Weg zu lösen.
Nett wär's wenn du den dann hier vorstellen würdest.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Riemann-integrierbare Funktionen sind stets auf dem ganzen endlichen Integrationsintervall definiert und dort beschraenkt.

In diesem Sinne gilt hier mit der Standardabschaetzung: mit . Daraus folgt alles, was ich behauptet habe, sowie auch die zur Debatte stehende Grenzwertbeziehung.
Hatschi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Erstens: Sowas gibt es nicht.
Zweitens: Wer redet hier davon?

Bei rg ist der Begriff "Standardabschätzung" gefallen.

Zitat:
Nett wär's wenn du den dann hier vorstellen würdest.

Es ging mir hier erst mal nur um die Gültigkeit der obigen Gleichung, die ich eventuell als Ansatz
verwendet hätte. An der Aufgabe knobel ich vorerst lieber alleine weiter.
Trotzdem danke
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist stetig in x?


Mag sein, dass ich mich irre, aber ich denke ja. Das sollte eigentlich leicht mit der Abschätzung von rg folgen. Die Lipschitzkonstante ist hier 1.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

existiert im Riemannschen Sinne, wenn ich den Integranden im Nullpunkt irgendwie definiere. Stetigkeit bis auf endlich viele Ausnahmen und Beschraenktheit reicht fuer die Existenz und der willkuerliche Wert im Nullpunkt ist egal. Ergo: Diese Funktion ist fuer alle x steig. Und die Lipschitz-Konstante ist Eins.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

@rg: Deine Wiederholung des selben Arguments ist unnötig. Wie ich bereits schrieb ist mein Problem folgendes:
Zitat:
Das gilt meines Wissens nur für Regelfunktionen.

Hast du irgendeinen Verweis Link, Buchtipp wo der Beweis steht, dass die Aussage für alle Riemann-integrierbaren Funktionen gilt und nicht nur für Regelfunktionen?
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das Problem nicht so ganz muss ich sagen.

Sei Riemann-integrierbar. Dann ist Lipschitzstetig in .
Beweis: Da Riemann-integrierbar ist, ist beschränkt, etwa .

Seien . Dann gilt .

Gibt es mit diesem Beweis ein Problem? Wenn ja an welcher Stelle?
rg Auf diesen Beitrag antworten »

@Captain Kirk:

Walter, Analysis I, Springer, Abschnitt 9.16., "Das Integral als Funktion der oberen Grenze". Da steht fast woertlich, was ich hier zum Besten gegeben habe, inklusive dem reproduzierten Beweis. Kommentar: Der Beweis ist fast trivial. smile
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