Invertierbare Matrix

13.04.2015, 12:09	totti	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbare Matrix Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem bei der Aufgebanstellung: Es seien $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N , A\in \mathbb R^{(n,n)}; \vec{v_1},...,\vec{v_n} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ linear unabhängige Eigenvektoren von A mit zugehörigen Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda ,...,\lambda_n\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} T:=(\vec{v_1},...,\vec{v_n}) \end{eqnarray}$ invertierbar ist und bestimmen Sie $\begin{eqnarray} T^{-1} \cdot A\cdot T \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: So ich hatte da schon ein paar Probleme bei der Aufgabenstellung aber ich interpretiere es mal so: A ist eine Martrix welche quadratisch ist. Was ist denn jetzt genau T bzw wie bekomme ich T? Am liebsten würde ich dies ersteinmal an einem exakten Bsp. verschneit Zahlen am besten 3x3 Und dann dies auf die allgemeine Gültigkeit übertragen. Ich weiß das es 2. Voraussetzungen gibt, damit eine Matrix invertierter ist: 1. Muss quadratisch sein 2. $\begin{eqnarray} Det\neq0 \end{eqnarray}$ Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
14.04.2015, 11:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die n Eigenwertgleichungen $\begin{eqnarray} A\vec v_k =\lambda_k\vec v_k \end{eqnarray}$ mit k=1,2, ..., n , kann man wie folgt zu einer einzigen Matrixgleichung zusammenfassen $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} A_{11} & ... & A_{1n} \\ ... & ... & ... \\ A_{n1} & ... & A_{nn} \end{pmatrix}}_{\text{Matrix }A}\underbrace{\begin{pmatrix} v_{11} & ... & v_{n1} \\ ... & ... & ... \\ v_{1n} & ... & v_{nn} \end{pmatrix}}_{\text{Matrix T}}= \underbrace{\begin{pmatrix} v_{11} & ... & v_{n1} \\ ... & ... & ... \\ v_{1n} & ... & v_{nn} \end{pmatrix}}_{\text{Matrix T}}\underbrace{\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & ... & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}}_{\text{Diagonalmatrix }\Lambda} \end{eqnarray}$ Offenbar sind die n Spalten der Matrix T gerade die Eigenvektoren von A, und die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ enthält die Eigenwerte von A. Es ist klar, dass T inverstierbar ist, denn laut Voraussetzung sind die Eigenvektoren linear unabhängig. Wendet man auf diese Matrixgleichung die inverse Matrix $\begin{eqnarray} T^{-1} \end{eqnarray}$ an, ergibt sich $\begin{eqnarray} T^{-1}AT=\underbrace{T^{-1}T}_{E}\Lambda=\Lambda \end{eqnarray}$ Das ist gerade die obige Diagonalmatrix mit den Eigenwerten.

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