Stetigkeit, Existenz von Grenzwerten im R^2

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Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit, Existenz von Grenzwerten im R^2
Meine Frage:
Ich soll den Gradienten einer Funktion berechnen. Das habe ich getan, der sieht so aus:



Gefragt ist , was mich zum Problem mit führt.

ist zwar mit definiert, aber das hilft mir bei leider nichts.




Meine Ideen:
Ich wollte es zunächst mit dem 2-dimensionalen Limes lösen, indem ich einfach alles so umforme, dass direktes Einsetzen von 0en zu einem offensichtlichen, unproblemantischen Grenzwert führt.
Das ist mir nicht gelungen, auch nicht in Polarkoordinatendarstellung.





Wolfram A. meint, dass in beiden Fällen 0 der Grenzwert ist, was durch Hinschauen auch logisch erscheint. Nur komme ich nicht auf sauberem Wege dort hin.
Weiß jemand Rat?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Darstellung für den Gradienten, die du gefunden hast, ist nur außerhalb des Nullpunktes gültig, da auch nur dort, also für deine Funktion auf einer Umgebung von durch die Vorschrift definiert ist, die du für die Berechnung des Gradienten herangezogen hast. Es kann natürlich sein, dass sogar stetig differenzierbar ist. In diesem Fall kannst du den Gradienten zunächst außerhalb von bestimmen und dann den Grenzwert bilden. Ob dies der Fall ist, wirst du aber wohl von vornherein nicht wissen. Daher bleibt nur, den Gradienten in direkt mit der Definition der partiellen Ableitungen zu bestimmen. Dabei kann ich dir aber nicht helfen, da meine Glaskugel gerade ausgeliehen ist und ich nicht weiß, wie überhaupt aussieht.
Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hier die Funktion.

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kannst du nun die partiellen Ableitungen in bestimmen, indem du nach differenzierst, bzw. nach .

Edit: Beachte dabei, dass es für und jeweils Darstellungen gibt, die für alle bzw. gültig sind. Das Problem, das es bei dem Gradienten gab, existiert hier also nicht.

Edit2: Sorry, ist mir grad erst aufgefallen. Beim Differenzieren von musst du noch etwas aufpassen. Es hilft hier, links- und rechtsseitige Ableitung zu bestimmen.
Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »

War das so gemeint?





Latex korrigiert (Guppi12)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

In etwa, allerdings stimmt das zweite noch nicht. Siehe 2. Edit von mir.
 
 
Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht so recht.

Ich darf also nicht einfach so kürzen, sondern muss erst die links- bzw. rechtsseitige Ableitung machen?



Worum geht es dabei eigentlich? Um die Division durch 0 oder um das doppelte Vorzeichen durch die Wurzel?
Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu fällt mir noch ein:
Wenn ich x bzw. y auf 0 setze, somit "festhalte", und die jeweils andere Variable gegen 0 gehen lasse, dann habe ich die Existenz des Grenzwerts, sofern er überhaupt existiert, ja nur von einer Richtung gezeigt. Welche Aussagekraft hat das dann? Ich tippe mal auf "keine", da der Grenzwert ja von allen Seiten existieren muss.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht darum, zunächst mal einen Ausdruck für zu finden, der für alle gültig. ist. ist für ja schonmal richtig, lässt sich aber vereinfachen zu . Dieser Ausdruck stimmt nun sogar für mit überein. Du kannst diesen Ausdruck aber nicht ohne weiteres nach differenzieren, weil die Signumsfunktion in nicht differenzierbar ist. Du kannst hier aber ohne Probleme links- und rechtsseitige Ableitung bestimmen. Sind diese gleich, ist die Funktion differenzierbar.

Edit: Zu deinem Nachtrag: Schau dir nochmal die Definition der partiellen Ableitung an. Es geht dort tatsächlich nur darum, wie sich die Funktion in einer einzigen vorgegebenen Richtung verhält.
Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »

So?



Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist in Ordnung. Somit hast du nun beide partiellen Ableitungen in bestimmt.
So, wie du es nun gemacht hast (sehr elementar) wäre die Unterscheidung zwischen links- und rechtsseitig sogar garnicht nötig gewesen. Das geht in einem.
Müslischale Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank, Guppi!
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