Dirichletkriterium - unsicher.

14.04.2015, 17:43

qwertzer

Dirichletkriterium - unsicher.

Hey,

ich möchte gerne folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen, abhängig von $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}e^{in\theta} \end{eqnarray*}$ .

Dazu habe ich das Kriterium von Dirichlet bei Wikipedia nachgeschlagen. Dort steht, dass, wenn

$\begin{eqnarray*} a_k,b_k \end{eqnarray*}$ reelle Folgen sind und die Partialsummenfolge von $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, sowie $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ monotone Nullfolge, dass dann $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_k b_k \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Mein Problem ist hier, dass $\begin{eqnarray*} e^{in\theta} \end{eqnarray*}$ nicht reell ist. Allerdings habe ich nun den Beweis gecheckt und mMn. sollte das auch für komplexe $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ohne Probleme durchgehen.
Meine erste Frage ist also: Liege ich damit falsch? Es verunsichert mich, dass Wikipedia hier so stark einschränkt.

Zweite Frage: Falls ich richtig liege, dann sollte für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 1 \end{eqnarray*}$ doch genau im Fall $\begin{eqnarray*} \theta \notin 2\pi \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Konvergenz vorliegen. Richtig?

Danke schonmal.

14.04.2015, 18:22

Guppi12

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Wenn du dir den Artikel in Englisch anschaust, wird die in der Tat unnötige Einschränkung nicht gemacht, du liegst richtig.

Auch dein Ergebnis scheint mir zu stimmen.

14.04.2015, 18:48

HAL 9000

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Die komplexe Form kann man leicht aus der reellen folgern, indem man Real- und Imaginärteil getrennt betrachtet. Augenzwinkern

14.04.2015, 18:59

qwertzer

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Zitat:

Die komplexe Form kann man leicht aus der reellen folgern, indem man Real- und Imaginärteil getrennt betrachtet.

Hmm, das hilft mir nicht weiter, aber trotzdem danke Tanzen

Spaß beiseite, vielen Dank euch beiden, hat mir sehr geholfen! Sind immer so Kniffe, wie Real- und Imaginärteil, die ich einfach vergesse nachzuprüfen, ob man damit was erreicht.

14.04.2015, 19:03

HAL 9000

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Da hat wohl einer meine Signatur nicht gelesen ... nichts für ungut. Big Laugh

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Dirichletkriterium - unsicher.

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