Mittelwertsatz der Differentialrechnung

14.04.2015, 22:42

a.nalysis

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Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Meine Frage:
Für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt als Voraussetzung: Die Funktion f ist diffbar und an den Rändern stetig.
Wenn man jetzt davon ausgeht, dass die Funktion an einer Stelle im Innern stetig ist, kann dann auf die Stetigkeit auf den Rändern verzichtet werden?

Meine Ideen:
Ich denke, dass man auf die Stetigkeit auf den Rändern verzichten kann, allerdings hab ich keine Idee, durch welchen anderen Satz man dies belegen kann. Ich hoffe mir kann jemand dabei weiterhelfen!

14.04.2015, 22:55

10001000Nick1

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Zitat:

Original von a.nalysis
Wenn man jetzt davon ausgeht, dass die Funktion an einer Stelle im Innern stetig ist,

Das ist doch automatisch der Fall, da Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert.

Auf Stetigkeit in den Randpunkten kann man nicht verzichten, wie man an der Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=\begin{cases} 1, x=0\\ 0, x\neq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ sieht: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} x_0\in(0,1) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \end{eqnarray*}$ .

15.04.2015, 14:52

A.nalysis

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
ok danke.

Ich habe noch eine Frage und zwar der Satz von Weierstraß gilt für stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Defintionsintervall.

Bei Funktionen mehrerer Veränderlichen nimmt die Funktion f auf einer kompakten Teilmenge globale Extrema an.

Wie sieht das jetzt bei Funktionen einer reellen Veränderlichen? Welche Art von Extrema wird hier angenommen? Auch globale oder lokale?

15.04.2015, 15:37

10001000Nick1

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Zitat:

Original von A.nalysis
Ich habe noch eine Frage und zwar der Satz von Weierstraß gilt für stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Defintionsintervall.

Nein, es muss kompakt sein.

Zitat:

Original von A.nalysis
Bei Funktionen mehrerer Veränderlichen nimmt die Funktion f auf einer kompakten Teilmenge globale Extrema an.

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, ja.

Zitat:

Original von A.nalysis
Wie sieht das jetzt bei Funktionen einer reellen Veränderlichen? Welche Art von Extrema wird hier angenommen? Auch globale oder lokale?

Du meinst stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kompakt? $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nimmt auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sein lokales Maximum und Minimum an. Ein globales Extremum ist aber immer auch ein lokales Extremum.

15.04.2015, 18:57

RavenOnJ

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von A.nalysis
Bei Funktionen mehrerer Veränderlichen nimmt die Funktion f auf einer kompakten Teilmenge globale Extrema an.

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, ja.

(Unterstrich von mir)
Wie das?

15.04.2015, 20:36

a.nalysis

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ne ich meine $\begin{eqnarray*} f:\left[a,b\right] ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ auf dem abgeschlossenen Definitionsintervall $\begin{eqnarray*} D = \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ .

und dann nimmt f ein Maximum und Minimum an, d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} p, q \in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(p\right) \leq f\left(x\right) \leq f\left(q\right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ .

Edit Guppi12: Latex korrigiert. Der Code muss in

code:
1:	[latex]...[/latex]

eingefasst werden.

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15.04.2015, 20:50

a.nalysis

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Irgendwie wurden jetzt die Formeln nicht richtig eingefügt.
also gegeben ist bei Weierstraß die stetige Funktion f unglücklich

unglücklich

a,b) -> R auf dem abgeschlossenen Definitionsintervall (a,b)

dann nimmt f Max. und Min. an, d.h. es gibt Punkte p, q Element (a,b) mit
f(p)<f(x)<f(q) für alle x Element (a,b)
(soll immer kleiner gleich heißen)

Hier sind es also auch globale Extrema?

Ich dachte es gibt einen Unterschied zwischen globalen und lokalen Extrema?
Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. (also nur in einem Intervall betrachten)

und ein globales Maximum/Minimum bezieht sich auf die ganze Funktion und ist das größte Min/Max. Stimmt das so nicht?

15.04.2015, 21:07

rg

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Der Satz sagt was ueber f eingeschraenkt auf das kompakte D, nicht darueber, wie f sich vielleicht ausserhalb von D sonst noch verhaelt, falls man es da auch definieren kann. In Bezug auf D sind es dann natuerlich globale Extrema, denn lokale Extrema in D werden im Satz von Weierstraß nicht behandelt. Genauer lautet er naemlich: Eine stetige Funktion nimmt auf kompakten Intervallen ihr Infimum und ihr Supremum an. Das mit den globalen und lokalen Extrema vergisst Du am Besten in diesem Zusammenhang wieder, denn es passt hier nicht so recht dazu.

15.04.2015, 21:22

a.nalysis

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
ok danke!

wenn ich jetzt ein Gegenbeispiel für Weierstraß suche, also eine Funktion die nicht stetig und keine Extrema hat. Gibt es dafür überhaupt ein Beispiel?

Bin schon die ganze Zeit am überlegen, aber auf eine Lösung bin ich bisher nicht gekommen.

Ich brauche doch eine Funktion, die Sprünge macht und deren Ableitung keine Nullstellen besitzt oder?

Kann man als Gegenbeispiel (x^2+x^4) : x nehmen?
Bin mir nicht sicher, weil ich nicht weiß, ob man Null ausschließen darf, weil die Voraussetzung doch ein abgeschlossenes Intervall sein muss??

15.04.2015, 21:31

Guppi12

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Hey, es geht ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to[0,1],x\mapsto\begin{cases}x\quad \text{falls } x\in (0,1) \\ \frac{1}{2} \quad\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Man könnte sich natürlich auch noch ein Gegenbeispiel überlegen, wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zwar stetig ist, aber $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zum Beispiel nur noch beschränkt, nicht mehr kompakt. Das kannst du ja selbst mal tun.

15.04.2015, 21:32

rg

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Beispiele:

f(x)=1/x, f(0)=0. Nimmt auf [0,1] das Supremum (unendlich) nicht an, weil f auf [0,1] nicht stetig ist.

g(x)=x, aber g(0)=1/2 und g(1)=1/2. Nimmt auf [0,1] weder Infimum (0) noch Supremum (1) an, weil g auf [0,1] nicht stetig ist.

h(x)=1/x. Nimmt fuer x>0 weder Infimum (0) noch Supremum (unendlich) an, da das Intervall x>0 nicht kompakt ist.

usw.

15.04.2015, 22:03

a.nalysis

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
@Guppi12: eine stetige Funktion ohne Extrema wäre doch dann zum Beispiel tan x. wäre das richtig?

@rg: Das Beispiel f(x) = 1/x verstehe ich nicht ganz:
f(x)=1/x, f(0)=0. Nimmt auf [0,1] das Supremum (unendlich) nicht an, weil f auf [0,1] nicht stetig ist.
Der Graph verläuft doch im 1. und 3. Quadranten und nähert sich jeweils an die Achsen an. Und warum gilt f(0) = 0? x = 0 wird doch gar nicht angenommen.
Mir ist nicht so ganz klar, warum die Funktion auf (0,1) unstetig ist..

15.04.2015, 22:30

Guppi12

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Zitat:

@Guppi12: eine stetige Funktion ohne Extrema wäre doch dann zum Beispiel tan x. wäre das richtig?

kommt drauf an, wo definiert.

15.04.2015, 22:47

rg

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ich hab Dir ja schon oben erzaehlt, dass die Funktion im Satz von Weierstrass nur auf einem (beliebig zu waehlenden, aber natuerlich im Definitionsbereich liegenden) kompakten Intervall betrachtet werden soll und nicht im "maximalen Definitionsbereich". Was also tut es zur Sache, dass f(x)=1/x fuer alle x!=0 definiert ist und dann der Graph den ganzen ersten und dritten Quadranten durchlaeuft, wenn ich als Intervall doch [0,1] gewaehlt habe? Diesen Punkt solltest Du verstehen und nicht ignorieren. Zu f(0)=0: Wer oder was verbietet es, die Beispielfunktion im Nullpunkt so zu ergaenzen? Natuerlich wird dadurch f im Nullpunkt nicht stetig.

Und der Satz von Weierstrass ist auf den Tangens anwendbar. Wenn ich z.B. das Intervall [0,1] betrachte, dann wird das Minimum fuer x=0 und das Maximum fuer x=1 angenommen. Auf den ganzen maximalen Definitionsbereich des Tangens laesst sich der Satz natuerlich nicht anwenden, denn der ist nicht kompakt (beschraenkt und abgeschlossen).

19.04.2015, 21:28

a.nalysis

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Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Zitat:

Original von Guppi12
Hey, es geht ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to[0,1],x\mapsto\begin{cases}x\quad \text{falls } x\in (0,1) \\ \frac{1}{2} \quad\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Man könnte sich natürlich auch noch ein Gegenbeispiel überlegen, wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zwar stetig ist, aber $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zum Beispiel nur noch beschränkt, nicht mehr kompakt. Das kannst du ja selbst mal tun.

Ich habe jetzt darüber nachgedacht und mir ist da der Arcus Tankens als Beispiel eingefallen. Der ist doch beschränkt und hat keine Extrema. Passt das dazu?

19.04.2015, 21:32

Guppi12

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Kommt drauf an, wo du den Arkustangens betrachen willst, wie ich auch oben schon geschrieben habe.

19.04.2015, 21:43

a.nalysis

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Mittelwertsatz der Differentialrechnung
naja vorher hatte ich ja den Tangens erwähnt, aber jetzt denke ich dass eher der arctan passt. Das Intervall würde ich von (-\pi /2, \pi /2) wählen.

19.04.2015, 21:45

Guppi12

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Das wäre wohl ein passendes Gegenbeispiel. Da kannst du aber ebenso auch den Tangens nehmen auf dem Intervall.

19.04.2015, 21:47

a.nalysis

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Mittelwertsatz der Differentialrechnung
ok, super danke!

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