Menge von Äquivalenzklassen G/G'

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Alex13 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von Äquivalenzklassen G/G'
Liebe Mathe-Community,

ich komme in meinem Mathe Skript nicht mehr weiter und würde mich freuen, wenn Ihr mir dabei helfen könntet einen bestimmten Teil zu verstehen.

Es geht um folgendes:

"Die Menge von Äquivalenzklassen wird bezeichnet mit .
Es sei (G,°) eine abelsche Gruppe und G' eine Untergruppe. Die Menge von Äquivalenzklassen G/G' bildet eine abelsche Gruppe mit der Operation: °' : (a ° G') °' (b ° G') = (a ° b) ° G'.
Wir definieren eine Relation ~ auf G durch: a ~ b <=> ."

Als Beispiel habe ich mir jetzt die Gruppe (Z,+) sowie die Untergruppe (Z/3Z,+) genommen.

So wie ich das verstanden habe ist G/G' = {[0]} und [0] = [1] = [2]

Stimmt das?
Ich verstehe außerdem die Operation nicht (°' : (a ° G') °' (b ° G') = (a ° b) ° G'). Kann mir jemand ein Beispiel mit dieser Operation geben?

Viele Grüße

Alex
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein gutes Beispiel. Die Gruppe G ist , die Untergruppe G' ist , und heißt Faktorgruppe oder Quotientengruppe.
Die 3 sogenannten Restklassen modulo 3 sind verschieden, und es ist z.B.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Äquivalenzklassen G/G'
Zitat:
Original von Alex13

Ich verstehe außerdem die Operation nicht (°' : (a ° G') °' (b ° G') = (a ° b) ° G').


Die Gruppe ist abelsch, also ist . Daraus folgt , da . Ich hoffe dir ist klar, dass und warum .
Alex13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis und RavenOnJ,

danke für eure Antworten. Das Beispiel mit (Z/3Z,+) von Elvis kann ich nachvollziehen. Allerdings verstehe ich die Erklärung zu der Operation °' nicht.

Mir ist klar, dass dadurch, dass die Gruppe abelsch ist das Kommutativgesetz gelten muss (also h ° g = g ° h). Aber die Folgerung verstehe ich nicht. Könntest du das genauer erklären?

Alex
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau verstehst du nicht? Da G abelsch ist, gilt . Der Rest folgt damit.
Alex13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube mein Problem ist, dass ich die Fragestellung zu kurz geschrieben habe. Also hier noch mal der Lemma um den es geht:

Es sei (G,°) eine abelsche Gruppe und G' eine Untergruppe. Die Menge von Äquivalenzklassen G/G' bildet eine abelsche Gruppe mit der folgenden Operation:

°' : (a ° G') °' (b ° G') = (a ° b) ° G'

geerbt von G.


Ich verstehe nicht, warum G/G' eine abelsche Gruppe mit dieser Operation bildet. Habe mir als Beispiel die Gruppe (Z,+) und die Untergruppe 3Z genommen. Vielleicht ist dieses Beispiel auch falsch und deshalb verstehe ich es nicht. Habt ihr vielleicht ein Beispiel für mich an dem ich sehen kann warum das so ist?

Danke

Alex
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage nach dem "warum" lässt sich ganz leicht durch einen Beweis beantworten. Du musst zuerst beweisen, dass diese Abbildung wohldefiniert ist, d.h. für alle . Dann kannst Du die Gruppenaxiome beweisen. Tipp: Für das neutrale Element ist das neutrale Element von . Was dann das zu inverse Element ist, liegt nahe. Assoziativ und kommutativ beweist man direkt, dabei werden diese Regeln aus verwendet.

z.B. der Beweis für die Kommutativität (wobei ich die Kringelchen weglasse) :
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alex13
Ich verstehe nicht, warum G/G' eine abelsche Gruppe mit dieser Operation bildet.


Die Operation , also die Multplikation in der Faktorgruppe G/G', ist im Endeffekt die aus G. Da G mit der Operation abelsch ist, ist auch G/G' mit abelsch. Mach dir das mal klar, indem du nur einzelne Elemente betrachtest, Repräsentanten in G/G'. Seien also und Repräsentanten von . Wenn du jetzt bildest, dann ist das in den Repräsentanten . Also
Alex13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis und RavenOnJ,

danke für eure Hilfe zu dem Thema. Ich muss mich jetzt mal in Ruhe hinsetzen und mir eure Beispiele genau anschauen. Aber ich gehe davon aus, dass ich das verstehen werde.

Viele Grüße

Alex
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung zu Faktorgruppen.

In der Gruppentheorie werden üblicherweise Faktorgruppen G/N für Normalteiler N von Gruppen G gebildet. Das funktioniert ganz genau so, wie Du es hier für abelsche Gruppen lernst, abgesehen davon, dass eine Faktorgruppe im allgemeinen nicht abelsch sein muss. In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe ein Normalteiler, deshalb kann man das in abelschen Gruppen mit jeder Untergruppe machen. Wenn du also ein beliebiges Algebrabuch zur Hand nimmst, wirst Du diese Konstruktion in einem der ersten Paragraphen im Kapitel Gruppentheorie finden.
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