Grundlagen von Matrizen

15.04.2015, 17:28

VioTur

Grundlagen von Matrizen

Hallo,

wir haben ein neues Thema in Mathe begonnen: Wirtschaftliche Anwendungen

Lerne das Thema seit einigen Tagen und bin bald am verzweifeln. Ich verstehe paar Grundlegende Dinge nicht.

Problem ist unter anderem die Formelsammlung. Habe mal die FS und eine Problemaufgabe angehängt.

Also was A, B und C ist verstehe ich. Steht ja auch gut beschrieben da!

Nun kommen die Verbrauchs-und Produktionsfaktoren (als Spaltenvektoren definiert) ins Spiel und ich verstehe überhaupt nichts mehr!

Dort steht ja das r für die Rohstoffe gilt, z für Zwischenprodukte etc.

Rechts daneben steht es gilt und drei Formeln. Sind das drei feste Formeln welche ich so immer nehmen kann? Was genau berechne ich mit den drei Formeln? Hat es einen Sinn, dass r für die Rohstoffe und r = A * z in einer Zeile steht?

Dann noch eine Frage beispielsweise zur Aufgabe C:

Gesucht sind ja die Zwischenprodukte. Z steht ja für die Zwischenprodukte. Dann müsste meine Formel doch z = B * p sein? Laut Lösung ist es aber a * z = r ---> Mit der Formel werden doch aber die Rohstoffe gesucht?

Habe das jetzt viele Stunden alleine versucht zu verstehen. Leider hilft mir auch das Suchen im Internet etc. nicht weiter.

Ich wäre sehr dankbar, wenn das jemand für einen Schüler verständlich erklären könnte. Total frustrierend wenn man stundenlang an so was sitzt und keinerlei Fortschritte erzielt unglücklich

Vielen herzlichen Dank!

16.04.2015, 10:51

Elvis

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Hallo,
zunächst ein paar grundsätzliche Worte zu Gleichungen, damit du verstehst, wie die Welt funktioniert. Eine Gleichung $\begin{eqnarray*} LS=RS \end{eqnarray*}$ hat eine linke Seite "LS", eine rechte Seite "RS" und das Gleichheitszeichen "=". Die Bedeutung einer Gleichung ist, dass die linke Seite LS gleich der rechten Seite RS ist, UND dass die rechte Seite RS gleich der linken Seite LS ist. Das heißt, man kann jede Gleichung von links nach rechts und von rechts nach links lesen.

Einsteins berühmte Gleichung $\begin{eqnarray*} E=mc^2 \end{eqnarray*}$ lehrt uns also, dass Energie gleich Masse mal $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ ist UND dass Masse = Energie durch $\begin{eqnarray*} c^2 \end{eqnarray*}$ ist. Insgesamt ist das die "Äquivalenz" von Masse und Energie.
Das Ohm'sche Gesetz $\begin{eqnarray*} U=R\cdot I \end{eqnarray*}$ lehrt uns gleich drei Dinge, nämlich 1. Spannung U ist gleich Widerstand R mal Stromstärke I, 2. Widerstand R ist gleich Spannung U durch Stromstärke I, 3. Stromstärke I ist gleich Spannung U durch Widerstand R.

Jetzt kommen wir von der Physik zur Mathematik, da gibt es eine Gleichung, die für alle Zahlen a,b,c gilt und die jeder Schüler verstanden haben sollte, nämlich das Distributivgesetz $\begin{eqnarray*} a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c \end{eqnarray*}$ . Die linke Seite ist ein Produkt, die rechte Seite ist eine Summe. Von links nach rechts gelesen lehrt das Distributivgesetz, wie man eine Klammer auflöst, d.h. wie man das Produkt aus einem Faktor und einer Summe berechnet. Von rechts nach links gelesen lehrt uns das Distributivgesetz, wie man einen gemeinsamen Faktor aus Summanden einer Summe ausklammert.

16.04.2015, 11:11

Elvis

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Und nun zu Deinem Problemchen aus der Wirtschaftsmathematik. Die Grundidee der Matrizengleichung Mx=y UND y=Mx besteht darin, dass der y-Vektor durch Multiplikation mit der Produktionsmatrix M aus dem x-Vektor hergestellt wird. Angewandt auf die Produktionskette r=Rohstoffe $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ z=Zwischenprodukte $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ p=Endprodukte ergibt sich r $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p, oder in Matrixform $\begin{eqnarray*} Az=r, Bp=z, Cp=r \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} r=Az=A(Bp)=(AB)p\Rightarrow ABp=r=Cp\Rightarrow AB=C \end{eqnarray*}$ .

Damit sind die Grundlagen geklärt. Die Aufgabe und ihre ausführliche Lösung zeigt dann, wie man diese Matrizenmultiplikation anwendet. Wichtig dabei ist wie bei allen Gleichungen, dass man die bekannten Teile einsetzt und die unbekannten Teile daraus berechnen kann.

Nachdem Du nun alles Wesentliche weißt, kannst Du Physiker, Mathematiker oder Wirtschaftsmathematiker werden. Wenn noch etwas unklar sein sollte, darfst Du gerne nachfragen

16.04.2015, 19:37

VioTur

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Hallo Elvis,

vielen Dank für deine tolle und zugleich sympathische Antwort Augenzwinkern

Die drei Formeln für die Verbrauchs-und Produktionsfaktoren sind also fest gegeben. Je nach dem was ich berechnen will, nehme ich eine der drei Formeln?

Hier kommt nun mein Verständnis Problem:

Nehmen wir mal r = A * z

Woher weiß ich wann ich welche Formel nehmen muss? Ich dachte immer, weil r alleine steht ist also r (Rohstoffe) gesucht? Aber letztendlich bedeutet laut deiner Aussage und den mathematischen Gesetzmäßigkeiten nur, dass r gleich A * z ist...

Freue mich sehr über eine Antwort Augenzwinkern

16.04.2015, 20:24

VioTur

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Ich habe noch eine zweite Frage. Aufgabe, siehe Anhang.

Geht um die Aufgabe mit dem ----> Frage

Hier bin ich durch logisches denken ohne Formelsammlung auf die Lösung gekommen.

B * p = z

Welche Hilfestellung soll die Formelsammlung denn bieten. Vielleicht mache ich ja was falsch.

Mein Vorgehen:

1.) Man überlegt sich wie man die Matrizengleichung aufstellen muss
2. ) Man schaut in die FS ob es die überlege Formel gibt und auf welche korrekte Seite die Elemente kommen (da ja das Kommutativgesetz nicht zählt)
3.) Ausrechnen

Die Formelsammlung mit den drei Formeln hilft ja also nicht beim aufstellen, sondern nur beim überprüfen? Oder kann man irgendwie auch wie folgt vorgehen:

Aufgabe lesen
Wissen was gesucht wird
In FS schauen und man findet die Lösung?

17.04.2015, 08:54

Elvis

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Zitat:

Original von VioTur
Ich dachte immer, weil r alleine steht ist also r (Rohstoffe) gesucht? Aber letztendlich bedeutet laut deiner Aussage und den mathematischen Gesetzmäßigkeiten nur, dass r gleich A * z ist...

Das hast Du perfekt richtig verstanden.

Die Antwort auf Deine Frage lässt sich sicher finden, weil $\begin{eqnarray*} A,B,p \end{eqnarray*}$ bekannt sind und in der Formelsammlung $\begin{eqnarray*} r=Az,z=Bp,r=ABp \end{eqnarray*}$ steht.

18.04.2015, 11:08

VioTur

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Vielen herzlichen Dank!

Also lassen sich immer die drei festen Formeln verwenden? Ich muss also nur schauen, was gegeben ist und die passende Formel wählen?

18.04.2015, 11:37

Elvis

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Ja, das ist der Trick bei der ganzen Sache. Im letzten Beispiel sind $\begin{eqnarray*} A,B,p \end{eqnarray*}$ (Speicherbausteine) bekannt, also kannst Du $\begin{eqnarray*} z=Bp \end{eqnarray*}$ (Mikrochips) und $\begin{eqnarray*} r=ABp \end{eqnarray*}$ (Rohstoffe) berechnen.

Und eigentlich musst Du Dir nur eine einzige Formel merken. Die kurze Produktionskette $\begin{eqnarray*} x\rightarrow y \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x=Ay \end{eqnarray*}$ . Kurze Produktionsketten kann man wie in der Theorie $\begin{eqnarray*} r\rightarrow z\rightarrow p \Leftrightarrow r=Az,z=Bp,r=ABp \end{eqnarray*}$ zu immer längeren Produktionsketten zusammensetzen.

18.04.2015, 18:29

VioTur

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Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Das hast Du perfekt richtig verstanden.

Habe ich leider nicht unglücklich

Anbei eine Aufgabe.

Aufgabenteil c:

Gegeben sind in der Aufgabe ja C, B und r

Gesucht sind ja zuerst mal die Zwischenteile, also z

Wenn meine Aussage stimmt, dass die gesuchte Größe alleine steht, dann kommt ja nur die Formelsammlung z = B * p in Frage. Es gibt ja keine andere Formel bei der z alleine steht.

Stimmt das?

18.04.2015, 19:16

Elvis

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Du hast schon längst alles verstanden, und ich bin sicher dass Du auch diese Aufgabe lösen kannst. Immerhin hast Du ganz richtig erkannt, dass diesmal nicht $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Das ist eine sehr gute Einsicht. In der Theorie bist Du schon der perfekte Wirtschaftsmathematiker, es fehlt nur noch ein bißchen Übung.

Das Produktionssystem ist wie immer $\begin{eqnarray*} r\rightarrow z \rightarrow p\Leftrightarrow r=Az,z=Bp,r=Cp=ABp \end{eqnarray*}$

a) Hier werden 2 Fragen gleichzeitig gestellt, nämlich die Frage nach den Komponenten $\begin{eqnarray*} r=Cp \end{eqnarray*}$ und den Bauteilen $\begin{eqnarray*} z=Bp \end{eqnarray*}$ . Das ist doch kein Problem für uns, wenn wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} B,C, p \end{eqnarray*}$ gegeben sind.
b) Du kennst die Matrizengleichung $\begin{eqnarray*} AB=C \end{eqnarray*}$ , schreiben wir sie als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 & 24 & 24 \\ 6 & 14 & 12 \\ 9 & 1 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann müssen wir nur "ein paar" Gleichungen für die Komponenten a bis i der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ lösen.
c) ist wieder total einfach, wenn wir nach b) alle Matrizen kennen.

Anmerkung: Ich hatte bislang nicht die geringste Ahnung von dieser Art zu rechnen, aber es macht richtig Spaß zu sehen, wie einfallsreich die Aufgaben gestellt werden. smile

18.04.2015, 22:42

VioTur

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Vielen Dank für dein Engagement. Bin ich sehr dankbar für!

Das Thema macht mich verrückt. Habe normalerweise keine so eklatanten Probleme in Mathe, aber dieses Thema ist zum verrückt werden.

10 Stunden am lernen und trotzdem nichts verstanden...

Bekomme zwar nun manche Aufgaben hin, aber so richtig das System verstehen ----> Fehlanzeige!

Alles total verwirrend, lauter Formeln, Bezeichnungen etc.

Mir fehlt noch das Verständnis für das Grundlegende! Es gibt eigentlich drei Größen, welche gesucht werden. Entweder r, z oder p.

Nun kommt mein großes Problem, die drei Formeln r = A*z, z = b*p und r = C*p

Will ich nun den Rohstoffbedarf berechnen, nehme ich die Formel r = A*z. Das erscheint mir auch logisch. Schließlich wird der Bedarf an Rohstoffen für die Zwischenprodukte mit der Anzahl der Zwischenprodukte multipliziert. Logischerweise ergibt das dann den Rohstoffverbrauch für die Zwischenprodukte.

z = B * p ist auch logisch.

Mit der Formel r = c*p will ich ja den Bedarf an Rohstoffen für die Endprodukte berechnen? Macht so weit auch Sinn.

Aufgabe A.)

Zuerst muss ich den Rohstoffverbrauch für die Endprodukte berechnen. Also nehme ich r = c*p

Nun will ich noch wissen, wie viele Zwischenprodukte ich für die Endprodukte brauche. Also z = B*p

Habe ich alles verstanden und die richtigen Ergebnisse Augenzwinkern

Aufgabe B.)

Finde die Aufgabenstellung nicht verständlich. Beziehen die sich auf den Bedarf von Aufgabe a? In der Formelsammlung lösen die das wie folgt:

A = (R;B) = CB^(-1) ----> Verstehe hier nur Bahnhof. Verstehe nur, dass die mit der Inversen arbeiten. Aber nicht was die als Grundlage nehmen und wieso.

Dein System:

Insgesamt gibt es 9 Unbekannte, also brauche ich drei Gleichungen.

Die erste Gleichung lautet z.B.:

a + 2b + c = 20

Alle Gleichungen aufstellen, Unbekannten berechnen und fertig.

c.)

Erster Teil, wie viele Bauteile kann man aus den gegeben Rohstoffen herstellen.

Folgendes habe ich:

Bedarf an Komponenten für die Zwischenprodukte (aus B)
Eingekaufte Rohstoffe
B
C

Also

r = A * z

r ist ja gegeben. A habe ich aus Aufgabe B. Z ist unbekannt. Hier muss ich wieder ein LGS aufstellen und fertig.

Würde mich freuen, wenn meine Gedankengänge richtig sind!

Noch mal vielen Dank für die tolle Hilfe. Hilfreich und motivierend zugleich Augenzwinkern

19.04.2015, 11:51

Elvis

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Vielleicht muss ich noch ein wenig mehr erklären, damit Du die Zusammenhänge verstehen kannst. Was eine Gleichung ist, und dass man eine Gleichung aus verschiedenen Richtungen (links/rechts) betrachten kann, und dass man eine Gleichung nach allen beteiligten Variablen auflösen kann, ist Dir inzwischen völlig klar.

Eine Theorie ist eine Menge von Aussagen über einen Sachzusammenhang von Begriffen. Begriffe werden mathematisch in Form von Definitionen aufgestellt. Aussagen werden in mathematischen Sätzen (normalerweise mit Beweisen) zusammengestellt, fast immer sind darin Gleichungen enthalten. Die Gültigkeit einer Theorie ist gleichbedeutend damit, dass alle Aussagen / Sätze / Gleichungen, Begriffe / Definitionen gleichzeitig zusammen gültig sind. Das ist die Ursache für mögliche Verwirrungen und das Gefühl, man habe noch nicht alles verstanden. Eine Theorie passt nicht immer vollständig in den Kopf, man kann immer nur mit Teilen der Theorie auf dem Papier arbeiten, muss sich aber darüber klar sein, dass die ganze komplizierte Theorie gilt. Wenn man mit einer Gleichung arbeitet, muss man oft den Zusammenhang mit anderen Gleichungen der Theorie beachten.

Hier gilt: $\begin{eqnarray*} r\rightarrow z\rightarrow p \end{eqnarray*}$ ist der Sachzusammenhang Produktionssystem. Die mathematische dazu Theorie ist $\begin{eqnarray*} r=Az,z=Bp,r=Cp=ABp,C=AB \end{eqnarray*}$

19.04.2015, 11:52

Elvis

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Konkret zu Aufgabe b) Die Gleichung $\begin{eqnarray*} AB=C \end{eqnarray*}$ habe ich benutzt, um aus den bekannten Matrizen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ die unbekannte Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Unbekannt heißt, dass man die Einträge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sucht, was mit einem sehr einfachen Gleichungssystem machbar ist.

Dieselbe Gleichung $\begin{eqnarray*} AB=C \end{eqnarray*}$ kann man in diesem Beispiel auch als Matrizengleichung quadratischer Matrizen ansehen (das geht nicht immer in der Produktionstheorie, weil die Matrizen nicht immer quadratsche Matrizen sind, und wenn sie quadratisch sind, müssen sie nicht immer invertierbvar sein !). Im Beipiel geht es, und es gilt $\begin{eqnarray*} AB=C\Rightarrow (AB)B^{-1}=CB^{-1}\Rightarrow A(BB^{-1})=CB^{-1}\Rightarrow A=CB^{-1} \end{eqnarray*}$ . Jede einzelne Folgerung dieser logischen Kette hat einen mathematischen Grund in der Theorie der Matrizen, das sind hier (i) eine Matrizengleichung kann man von rechts mit einer Matrix multiplizieren (ii) auf der linken Seite der Gleichung gilt das Assoziativgesetz (iii) $\begin{eqnarray*} BB^{-1}=I \end{eqnarray*}$ ist die Einheitsmatrix, dafür gilt $\begin{eqnarray*} IA=A \end{eqnarray*}$ .

Wie man sieht, ist alles noch viel komplizierter geworden, denn es gilt nicht nur die (sachliche) Theorie des Produktionssystems sondern darüber hinaus auch noch die (mathematische) Theorie der Matrizen.

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