Funktionenschar Tangente mit genau einer Kurve

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15.04.2015, 17:48	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenschar Tangente mit genau einer Kurve Meine Frage: Hallo, wir haben im Mathematikunterricht eine Abituraufgabe bekommen, von der ich bis jetzt alle, bis auf die letzte Aufgabe lösen konnte. Die Aufgabe: Gegeben ist eine Gerade g durch die Gleichung $\begin{eqnarray} y=x+1 \end{eqnarray}$ und einer Funktionsschar $\begin{eqnarray} f_{b} \end{eqnarray}$ durch die Gleichung $\begin{eqnarray} f_{b}\left(x\right)=\frac{2x+b}{x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R , x\neq 0, b\in \mathbb R. \end{eqnarray}$ . Die zugehörige Kurvenschar ist $\begin{eqnarray} K_{b} \end{eqnarray}$ . Für genau eine Kurve der Schar $\begin{eqnarray} K_{b} \end{eqnarray}$ ist die Gerade g eine Tangente dieser Kurve. Bestimmen Sie den Wert für b und die Koordinaten des Berührungspunktes. Meine Ideen: Ich weiß, dass die Gerade $\begin{eqnarray} y=x+1 \end{eqnarray}$ die Steigung 1 hat und dass die gesuchte Kurve in dem Punkt, wo sie an der Tangente anliegt, ebenfalls die Steigung 1 haben müsste. Weiterhin habe ich versucht, die Funktion $\begin{eqnarray} f_{b}\left(x\right)=\frac{2x+b}{x} \end{eqnarray}$ nach b umzustellen, was jedoch weniger bis gar kein Erfolg war. Ich schätze, dass b negativ sein müsste, weil die Gerade durch die Graphen mit positiven b's hindurchlief. Wir hatten das Thema im Unterricht nur angerissen, bitte verzeiht es mir, wenn ich von Funktionenscharen nicht so die Ahnung habe. Danke für Eure Hilfe! =)
15.04.2015, 18:17	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Damit die Graphen einen gemeinsamen (Berühr-)Punkt haben, solltest du erstmal die Funktionsgleichungen gleichsetzen. Also: $\begin{eqnarray} x+1=\frac{2x+b}{x} \end{eqnarray}$ Nun nach x auflösen. edit: Ein Bild zur Kontrolle:
15.04.2015, 18:27	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
nun habe ich x²-x=b Kannst du mir noch bitte sagen, wie es weiter geht?
15.04.2015, 18:27	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das b nach links und die pq-Formel anwenden.
15.04.2015, 18:30	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
Hups.. darauf bin ja noch gar nicht gekommen Dankeschön, wenn ich b dann habe kann ich damit die Koordinaten ausrechnen?
15.04.2015, 18:32	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - du bekommst doch dann: $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+b} \end{eqnarray}$ Wie muss b nun lauten für einen Berührpunkt und was für ein x erhältst du denn?
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15.04.2015, 18:46	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also ich habe jetzt die Gleichung $\begin{eqnarray} 0=x^2-x-b \end{eqnarray}$ , wenn ich das, mit dem b auf die linke Seite, richtig verstanden habe. Wenn ich das in die pq Formel einsetze, kann ich doch aber nichts ausrechnen, da ich ja nicht weiß, wie groß b ist?
15.04.2015, 18:48	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Die pq-Formel liefert (siehe letzter Beitrag) $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+b} \end{eqnarray}$ Und noch mal die Frage: Wie musst du b nun wählen, damit du eine Lösung für x bekommst?
15.04.2015, 18:51	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe gerade nicht so richtig, was ich mit dem b machen soll? Mir eine Zahl ausdenken? B darf nicht kleiner als -1/4 sein, meinst du das?
15.04.2015, 18:55	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Na - wie wäre es damit: b sollte genau $\begin{eqnarray} -\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ sein, damit die Diskriminante 0 ergibt, und du somit nur eine Lösung ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ) für x erhältst?! Zur Kontrolle kannst du ja für deine Funktion $\begin{eqnarray} \frac{2x-\frac{1}{4}}{x} \end{eqnarray}$ nun noch einmal die Ableitung bilden und den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ berechnen. Dieser sollte dann gerne 1 ergeben, wie du ja schon richtig festgestellt hattest. Ein Blick auf mein Bildchen sollte das aber bestätigen.
15.04.2015, 19:01	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke, aber ich habe gedacht, dass man diese -1/4 irgendwie berechnen könnte :/ Erstmal vielen Danke für deine Hilfe.
15.04.2015, 19:02	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Die kannst du berechnen, indem du folgende Gleichung löst: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}+b=0 \end{eqnarray}$ Das haben wir nun aber im Kopf gemacht.
15.04.2015, 19:07	Björg	Auf diesen Beitrag antworten »
Und die Diskriminante muss 0 ergeben? B Könnte doch auch z.B. 1 sein, dann hätte man in der Wurzel 1,25?
15.04.2015, 23:20	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was passiert, wenn b 1 ist? Wir haben zwei Lösungen für x, also schneidet die Gerade in zwei Punkten. Und sieht das nun nach einer Tangente aus, welche den Graphen in einem Punkt berührt?

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