Matrixform

16.04.2015, 12:35	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixform Kann mir bitte jemand sagen, ob ich das richtig mach? [attach]37747[/attach] a) Spiegelungsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(2 \alpha) & sin(2 \alpha) \\ sin(2 \alpha)& -cos(2 \alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ b) Spiegelung um Gerade $\begin{eqnarray} y=kx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(2 arctan(k)) & sin(2 arctan(k)) \\ sin(2 arctan(k))& -cos(2 arctan(k)) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ c) Orthogonale Projektion, ist das dann einfach $\begin{eqnarray} + \pi/2 \end{eqnarray}$ dazu addiert ich bin mir sehr unsicher $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(2 arctan(k)+\frac{\pi}{2} ) & sin(2 arctan(k)+\frac{\pi}{2}) \\ sin(2 arctan(k)+\frac{\pi}{2})& -cos(2 arctan(k)+\frac{\pi}{2} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \lambda \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} :\lambda>0 \end{eqnarray}$ fest e) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin( \alpha)& cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$
16.04.2015, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht nicht besonders gut aus. Tipp: Nimm die Standardbasis $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , bilde die Basisvektoren entsprechend der jeweiligen geometrischen Abbildungsvorschrift ab, und schreibe die Bilder als Spaltenvektoren in die zugehörigen Darstellungsmatrizen. Entsprechendes Vorgehen liefert dann auch mögliche Darstellungsmatrizen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3. \end{eqnarray}$
19.04.2015, 10:52	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis, aber wie ist das gemeint jetzt bei a) etwas so: a) Einheitsvektoren in Matrix eingefüllt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich diese um den Ursprung spiegle kommt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heraus Damit dies gilt muss auch die Lineartransformation so heißten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ weil: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ läuft das so ab? Danke
19.04.2015, 12:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher ! $\begin{eqnarray} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(e_1)=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}, S(e_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\Rightarrow M(S)=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Grund: In den Spalten einer Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M(\varphi),\varphi: V\to V \end{eqnarray}$ bezüglich einer Basis $\begin{eqnarray} B=\{b_i:i=1,...,n\} \end{eqnarray}$ stehen immer die Bilder $\begin{eqnarray} \varphi(b_i),i=1,...,n \end{eqnarray}$ . Unwesentlich komplizierter wird die Darstellungsmatrix, wenn man mehrere Basen benutzt, z.B. bei linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ (siehe Skript zur Vorlesung oder Buch.)
19.04.2015, 13:39	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, stimmt dann nach meiner geometrischen Überlegung bei b) das: $\begin{eqnarray} arctan( k)=\alpha<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(e_1)=\begin{pmatrix} cos(2 \alpha) \\ sin (2 \alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(e_2)=\begin{pmatrix} sin(2 (90-\alpha)) \\ cos (2 (90-\alpha)) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} sin(2 \alpha)) \\ -cos (2 \alpha)) \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M(S)=\begin{pmatrix} cos(2 \alpha) & sin(2 \alpha) \\ sin(2 \alpha) & -cos(2 \alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder warum nicht... Wie sieht das im R³ aus?
19.04.2015, 14:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Heute habe ich keine Zeit mehr. Wenn niemand übernimmt melde ich mich morgen wieder.
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20.04.2015, 12:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die gesuchten Abbildungen musst Du zunächst einmal geeignete Namen erfinden, die können doch nicht alle gleich heißen, das wäre zu langweilig. Wenn Dir wirklich nichts besseres einfällt, dann nenne sie A,...,E entsprechend dem Aufgabenteil a,...,e. Gesucht sind dann die Darstellungsmatrizen M(A),...,M(E) bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray} e_1,e_2 \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Um diese Matrizen zu finden kannst Du Skizzen anfertigen und die Koordinaten der Bilder mittels analytischer Geometrie berechnen. Ob die Matrizen stimmen oder nicht, musst Du beweisen. Einfach nur hinschreiben ist zu wenig. d) und e) ist jedenfalls falsch. Wie das im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ aussieht, musst Du überlegen, nicht ich. Über das Thema sind schon dicke Bücher geschrieben worden, da weiß man gar nicht, wie und wo man anfangen soll ...

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