Doppelpost! Wie erklärt man am besten eine lineare Funktion?

16.04.2015, 17:51

loliii

Wie erklärt man am besten eine lineare Funktion?

Meine Frage:
Ich hätte gerne nur eine kurze Erklärung falls dies in meiner Klassenarbeit gefragt werden sollte.

Meine Ideen:
reicht die Antwort: Eine lineare Funktion ist eine gerade im Koordinatensystem?

16.04.2015, 18:40

Elvis

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Für eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(a_1x_1+a_2x_2)=a_1f(x_1)+a_2f(x_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a_1,a_,x_1,x_2\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Der Graph einer solchen Funktion ist eine Gerade durch den Nullpunkt, die Funktion kann auch als $\begin{eqnarray*} y=f(x)=ax \end{eqnarray*}$ geschrieben werden.

Der Graph der linearen Funktion $\begin{eqnarray*} z(x,y)=x+y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ,x,y,z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine Ebene durch den Nullpunkt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

16.04.2015, 18:49

Iorek

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@Elvis,

für einen Schüler, der sich wahrscheinlich gerade in der siebten Klasse mit linearen Funktionen beschäftigt, ist das wohl nicht wirklich passend.

@loliii,

ja, eine lineare Funktion lässt sich als Gerade in einem Koordinatensystem darstellen. Kannst du denn auch eine Gleichung für eine solche lineare Funktion angeben? smile

16.04.2015, 19:30

Mathema

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Lineare Funktion ist bei uns in Klassenstufe 8. Und was der Fragesteller nun erwartet ist mir auch nicht klar. Eine Definition steht im jeden Mathebuch und wird wahrscheinlich auch im Unterricht vom Lehrer gegeben bzw. durchgesprochen. Nichts anderes wollte Elvis wohl zum Ausdruck bringen.

Zudem sieht man der Frage schon an, dass dieses Forum wohl nicht das Einzige ist, wo sie gestellt wurde, vgl hier.

Wenn du (loliii) deinen Lehrer also begeistern möchtest lerne die Definition von Elvis auswendig. Augenzwinkern

Ansonsten musst du dir wohl noch einmal die Mühe machen dein Mathebuch aufzuschlagen.

Wink

16.04.2015, 19:54

Iorek

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Zitat:

Original von Mathema
Wenn du (loliii) deinen Lehrer also begeistern möchtest lerne die Definition von Elvis auswendig. Augenzwinkern

Gerade das eben nicht. Ob jetzt in der 7. oder 8. Klasse, dies entspricht nicht der Definition einer linearen Funktion in der Schule. Damit sind in der Tat "Geraden" im Koordinatensystem, also Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto ax+b \end{eqnarray*}$ gemeint. Elvis hat dagegen die Definition einer linearen Funktion/Abbildung im Sinne der linearen Algebra angegeben.

16.04.2015, 22:57

sulo

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Zitat:

Original von Mathema
Zudem sieht man der Frage schon an, dass dieses Forum wohl nicht das Einzige ist, wo sie gestellt wurde, vgl hier.

Ja, ist Crossposting.

Die Antwort dort entspricht dem, was man von dort erwarten kann. Augenzwinkern

17.04.2015, 00:00

Dopap

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also eher nicht so berauschend - oder?

als Antwortgeber sollte man doch wenigstens beim Steigungs-Bruch Klammern setzen.

Jede lin. Funktion(*) ist eine Gerade. Gilt das auch anders herum ?

(*) sofern $\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R \end{eqnarray*}$

17.04.2015, 00:11

Iorek

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@Dopap, das kommt jetzt eben auf die Definition von "linear" an. Im Schulsinne gilt die Äquivalenz, für die lineare Algebra nicht mehr.

17.04.2015, 00:19

Dopap

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Ich dachte in diesem Zusammenhang an senkrechte Geraden. Das sind dann keine Funktionen und demnach auch keine lineare Funktionen.

17.04.2015, 08:38

Elvis

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Das ist eine knifflige Sache. Wenn eine Gerade eine lineare Funktion ist, warum nicht auch die y-Achse x=c als Funktion von y, also x=f(y)=c ? Und überhaupt, warum muss man in der Schule alles komplizierter machen als es ist ?

17.04.2015, 10:25

Iorek

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Ok, die Möglichkeit einer senkrechten Gerade x=c hatte ich stillschweigend ausgeschlossen. Dieser Spezialfall sollte bzw. wird in der Regel behandelt, wenn die Schüler allgemein den Begriff der Funktion kennen und damit arbeiten können. Schließt man die senkrechten Geraden aus, erhält man dann in der Schule die Äquivalenz, dass lineare Funktion genau solche sind, deren Graph eine Gerade im Koordinatensystem darstellt.

Und wieso komplizierter? Von der Anschauung her ist die Verbindung von "lineare Funktion" zu "Graph ist eine Linie, genauer eine Gerade" sehr einfach zu machen. Dass man zur Einführung des Funktionsbegriffs noch nicht auf strukturerhaltende Abbildungen zwischen algebraischen Strukturen eingeht, ist auch einleuchtend. Und nicht zuletzt ist z.B. in der Hochschulanalysis die "lineare Funktion" als Synonym für eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto ax+b \end{eqnarray*}$ gebräuchlich. Es hängt eben vom Fachgebiet ab, welche Bedeutung man dem Begriff "linear" zuweist.

17.04.2015, 19:39

Dopap

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einverstanden!
Ich war ja auch mal in der Schule tätig. Der Begriff lin. Funktion macht eigentlich kaum Probleme. Bei Beispielen wie Stromkosten ( Grundpreis + Verbrauchspreis ) etc. wird das gut verstanden. (auch wenn es "nur" um Halbgeraden geht )
Zumal zuvor die direkte Proportionalität schon hinreichend bekannt ist.

Und der Fragesteller kann solche Beispiele durchaus im Auge behalten.

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