Gaußsches Fehlerintegral

17.04.2015, 09:09

Malika

Gaußsches Fehlerintegral

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

ich habe eine Frage zum Gaußschen Fehlerintegral:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! e^{-\frac{x^{2} }{2}} \, dx \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} a=-\infty +iak_{0} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b=+\infty +iak_{0} \end{eqnarray*}$

Ich habe bisher so gut wie gar nicht mit dem Fehlerintegral gearbeitet, deswegen störe mich ein wenig an dem komplexen Anteil in den Integrationsgrenzen.

Ich frage mich deshalb, ob trotz dem komplexen Anteil gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! e^{-\frac{x^{2} }{2}} \, dx=\sqrt{2\pi } \end{eqnarray*}$

Wolframalpha sagt, dass sei so ok und mit dieser Lösung könnte ich auch äußerst gut weiter arbeiten, aber ich bin mir da nicht so ganz sicher.

Vielen Dank schonmal, falls mich jemand aufklären könnte.

Viele Grüße

Malika

Meine Ideen:
Ich könnte eine Substitution durchführen, damit ich ein Integral der Form:
$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^{\infty} \! e^{-a(x+b)^2} \, dx \end{eqnarray*}$
erhalte, wobei b Komplex wäre. Wikipedia sagt:
$\begin{eqnarray*} \int_{\infty}^{\infty} \! e^{-a(x+b)^2} \, dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß allerdings nicht, ob das auch für komplexe b gilt.

17.04.2015, 10:18

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

mit
$\begin{eqnarray*} a=-\infty +iak_{0} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b=+\infty +iak_{0} \end{eqnarray*}$

Wie bitte? Unendlich plus was endliches ist immer unendlich.
Ferner gibt es im Komplexen nur ein Unendlich, kein plus/minus unedlich.

Mal ganz abgesehen davon: Wie definierst du ein Integral mit komplexen Integrationsgrenzen?

17.04.2015, 10:40

Malika

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Hallo Captain Kirk,

diese "merkwürdigen" Grenzen sind aus einer Substitution entstanden. Das so ein Integral nicht definiert ist, daran habe ich gar nicht gedacht. Deswegen würde ich die Frage gern ändern:

Wie sieht es denn mit diesem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-a(x+b)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

für ein komplexes b aus? Stimmt denn:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! e^{-a(x+b)^2} \, dx=\sqrt{ \frac{\pi}{a}} \end{eqnarray*}$ ?

Lebe lange und in Frieden! ( :-) )

17.04.2015, 11:23

Captain Kirk

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Keine Ahnung,
ich weiß nicht mal wann diese Integrale überhaupt existieren.
(Und mir spuckt bei den Integralen wolframalpha gar nichts aus.)

17.04.2015, 12:39

Huggy

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Integrale sind im Komplexen durchaus definiert. Nur gehören zur Definition eines solchen Integrals im allgemeinen nicht nur die Grenzen des Integrationswegs, sondern der gesamte Integrationsweg. Allerdings sind solche Schreibweisen

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty+ic}^{\infty+ic}e^{-\frac {z^2}{2}}dz \end{eqnarray*}$

mit reellem c durchaus üblich. Man meint dann einen Integrationsweg im Abstand c parallel zur reellen Achse, der sich auf beiden Seiten bis ins Unendliche erstreckt. Dieses uneigentliche Integral ist definiert und sein Wert ist nicht von c abhängig. Man kann also gleich den Fall $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ betrachten.

Um dies zu zeigen, kann man

$\begin{eqnarray*} \lim_{d \to \infty} \int\limits_{\gamma(d)} e^{-\frac {z^2}{2}}dz \end{eqnarray*}$

mit reellem d betrachten.

Dabei soll $\begin{eqnarray*} \gamma(d) \end{eqnarray*}$ der geschlossene, stückweise geradlinige Weg über die Punkte $\begin{eqnarray*} z_1=-d, z_2=d, z_3=d+ic, z_4=-d+ic \end{eqnarray*}$ und wieder zurück nach $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ sein. Das Integral über den geschlossenen Weg ergibt 0, da der Integrand in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph ist. Nun kann mein leicht zeigen, dass die Teilintegrale über die beiden Geradenstücke parallel zur y-Achse gegen 0 konvergieren. Damit müssen die verbleibenden Integrale zwischen $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ sowie zwischen $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d \to \infty \end{eqnarray*}$ entgegengesetzt gleich sein.

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