Zusammenhängende Räume

17.04.2015, 16:48

Ittum

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Zusammenhängende Räume

Guten Tag,
und zwar versuche ich im Moment folgende Äquivalenzen zu Zeigen:
Sei $\begin{eqnarray*} (X,\delta) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum.
i) $\begin{eqnarray*} (X,\delta) \end{eqnarray*}$ ist zusammenhängend
ii) Ist $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen, so ist $\begin{eqnarray*} M = \O \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M = X \end{eqnarray*}$
iii) Jede stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ ist konstant, d.h. $\begin{eqnarray*} f\equiv 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f\equiv 1 \end{eqnarray*}$

Erstmal i) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ii):
Ich soll also folgern können, dass die leere Menge und die Menge selbst die einzigen Teilmengen sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Definition des Zusammenhangs in metrischen Räumen:
$\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} A \cup B= X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \cap B=\O \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A= \O \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Rightarrow B= \O \end{eqnarray*}$
Daraus folgt aber doch auch wieder das die jeweils andere Menge gleich X ist., da die Vereinigung der beiden Teilmengen X ergibt.
Heisst z.B $\begin{eqnarray*} A= \O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B= X \end{eqnarray*}$ .
per Def. schon offen und natürlich auch abgeschlossen da für die A gilt:
$\begin{eqnarray*} A=\O \Rightarrow A^c=X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B= X \end{eqnarray*}$ ist nun auch schon offen, sodass A abgeschlossen ist. Selbiges gilt auch für B.
Aber wie schreibe ich die Implikation sinnvoll auf bzw genügt diese Formulierung?
Vielen Dank schonmal im vorraus.
mfg Ittum

17.04.2015, 16:56

10001000Nick1

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Probier's mal mit einem Widerspruchsbeweis. smile

smile

Edit: Könnte einer der Moderatoren das Thema in die Hochschulmathematik verschieben?

17.04.2015, 17:09

Ittum

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Okay, das versuche ich dann als nächstes smile

smile

Ps: Oh, hatte anscheinend aus Versehen Schulmathematik ausgewählt. Dies ist natürlich ein Fehler.
mfg Ittum

18.04.2015, 12:19

Ittum

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Nicht per Widerspruch, aber dennoch bewiesen?
Seien $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen mit $\begin{eqnarray*} A \cup B= X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B=\O \end{eqnarray*}$ .
Da X zusammenhängend $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A= \O \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Rightarrow B= \O \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} A= \O \Rightarrow B=X \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A \cup B= X \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} B= \O \Rightarrow A=X \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A \cup B= X \end{eqnarray*}$ .
Somit sind in einem zusammenhängenden Raum $\begin{eqnarray*} (X,\delta) \end{eqnarray*}$ die einzigen offenen und abgeschlossenen Teilmengen die leere Menge und die Menge X selbst.

18.04.2015, 12:49

10001000Nick1

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RE: Nicht per Widerspruch, aber dennoch bewiesen?

Zitat:

Original von Ittum
Seien $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen mit $\begin{eqnarray*} A \cup B= X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B=\O \end{eqnarray*}$ .

In der zweiten Aussage ist nur von einer einzigen Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Rede, du benutzt jetzt hier zwei verschiedene Mengen.

OK, wir können es auch direkt beweisen (nicht durch Widerspruch). Ist eigentlich dasselbe.
Du nimmst also eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ , die offen und abgeschlossen ist. Was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} M^C \end{eqnarray*}$ sagen?

18.04.2015, 14:07

Ittum

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RE: Nicht per Widerspruch, aber dennoch bewiesen?
Wenn M sowohl offen als auch abgeschlossen ist, folgt aufgrund der Def. der Abgeschlossenheit das das komplement von M (also $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ ) offen ist.

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18.04.2015, 14:10

10001000Nick1

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Genau ( $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ ist sogar offen und abgeschlossen).

Du hast jetzt also zwei offene und abgeschlossene Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M\cup M^c=X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\cap M^c=\emptyset \end{eqnarray*}$ .
Und damit bist du schon fast fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2015, 14:13

Ittum

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Aaaaaaah, ja natürlich auch abgeschlossen. Der restliche Beweis dürfte doch dann quasi wie mein vorheriger Versuch ablaufen.
Vielen Dank schonmal smile

smile

Ich melde ich bezüglich ii) -> iii) mal, wenn ich da ein paar Ansätze versucht habe.
mfg Ittum

18.04.2015, 15:32

Ittum

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Also:
ich habe etwas Probleme damit einen Zusammenhang zwischen ii) und iii) aufzubauen.
zwischen i) und iii) klappt dies schon eher, aber bei Kreisbeweisen muss ich ja nur von ii) ausgehend iii) zeigen können.

Sei $\begin{eqnarray*} f:X\to\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ beliebige, stetige Funktion.
So nun muss ich wohl mit der Stetigkeit argumentieren oder definieren ich meine Funktion vieleicht auf M und setze sie konstant und zeige mit ii) das M in diesem Fall nur X sein kann?

18.04.2015, 15:41

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ittum
oder definieren ich meine Funktion vieleicht auf M und setze sie konstant und zeige mit ii) das M in diesem Fall nur X sein kann?

Nein; du musst hier nur Funktionen auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ betrachten, nicht auf irgendeiner Teilmenge davon.
Außerdem: Wie sollte das funktionieren? Natürlich kannst du auf jeder Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine konstante Funktion definieren, nicht nur auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ selbst.

Kennst du den Satz "Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen sind offen"? Den brauchst du hier. Und dann solltest du dir noch überlegen, welche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ offen bzw. abgeschlossen sind (bezüglich der von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ induzierten Teilraumtopologie).

18.04.2015, 16:00

Ittum

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Ja, jetzt wo du ihn erwähnst ist mir der Satz aus einem früheren Semester geläufig und sagt aus, wie du erwähnt hast, das die Stetigkeit von f äquivalent zur Offenheit des Urbildes jeder offenen Teilmenge des Zielbereiches ist. Vermutlich kann man die Aussage genauso mit Abgeschlossenheit verwenden.

Die leere Menge, welche nunmal immer enthalten ist ist natürlich offen und abgeschlossen. udn die Punkte 0 bzw. 1 sollten doch nicht offen sein, da ich ja hier keine offen Kugel um sie legen kann und immernoch alle Punkte der Kugel in dem jeweiligen Punnkt sind.

Allerdings müsste für den obigen Satz $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ doch auch ein metrischer Raum sein (vielleicht mit der Trivialmetrik?) und somit eben genau $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ auch widerum offen und abgeschlossen sein?

edit: Absätze zur Übersichtlichkeit gemacht

18.04.2015, 16:13

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ittum
Vermutlich kann man die Aussage genauso mit Abgeschlossenheit verwenden.

Ja, kann man.

Zitat:

Original von Ittum
udn die Punkte 0 bzw. 1 sollten doch nicht offen sein, da ich ja hier keine offen Kugel um sie legen kann und immernoch alle Punkte der Kugel in dem jeweiligen Punnkt sind.

Dann nehmen wir mal die Menge $\begin{eqnarray*} \{0\}\subseteq \{0,1\} \end{eqnarray*}$ . Die Kugel $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2}}(0)=\left\{x\in \{0,1\}\ \left|\ |x-0|<\frac{1}{2}\right.\right\} \end{eqnarray*}$ ist also keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Menge $\begin{eqnarray*} U\subseteq\{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist offen (in der Teilraumtopologie), wenn es eine offene Menge $\begin{eqnarray*} V\subseteq\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} U=\{0,1\}\cap V \end{eqnarray*}$ (siehe Teilraumtopologie).

Zitat:

Original von Ittum
Allerdings müsste für den obigen Satz $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ doch auch ein metrischer Raum sein (vielleicht mit der Trivialmetrik?)

Man betrachtet da die Standardmetrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

18.04.2015, 17:01

Ittum

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Doch, da sie aus der Menge $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ja nur die 0 enthält und somit komplett enthalten ist.

Die Aussage zur Teilraumtopologie ist mir überhaupt nicht geläufig (hatte bisher nicht viel Stoff bezüglich Topologie).

Demnach wäre $\begin{eqnarray*} U={0} \end{eqnarray*}$ offen, da $\begin{eqnarray*} U=\{0,1\}\cap (-\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ ist daher abgeschlossen als $\begin{eqnarray*} \{0^c\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ , allerdings sollte man für $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ wirklich keine Kugel finden können, oder? da mein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

X ist folglich auch offen (Offenheit des Urbildes)

18.04.2015, 17:05

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ittum
allerdings sollte man für $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ wirklich keine Kugel finden können, oder? da mein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Genauso wie bei der 0 kannst du r=1/2 nehmen.
Bzw. ist $\begin{eqnarray*} \{1\}=\{0,1\}\cap\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Damit erhalten wir also, dass $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen sind.

Mit diesem Wissen kannst du jetzt versuchen, den Beweis $\begin{eqnarray*} (ii)\Rightarrow (iii) \end{eqnarray*}$ zu führen.

18.04.2015, 17:58

Ittum

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Sei Sei $\begin{eqnarray*} f:X\to\left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ stetig.
$\begin{eqnarray*} \{0\}\subseteq \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist offen, da $\begin{eqnarray*} \{0\}=\{0,1\}\cap (-\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \{1\}\subseteq \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist offen, da $\begin{eqnarray*} \{1\}=\{0,1\}\cap (\frac{1}{2} ,\frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \{0\}^c=\{1\}\ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen sind.

Somit sind $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^-1\{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^-1\{1\} \end{eqnarray*}$ ist offen und abgeschlossen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^-1\{0\}=X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^-1\{0\}=\emptyset \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f^-1\{1\}=X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^-1\{1\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Da für jede Menge Y eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\emptyset \to Y \end{eqnarray*}$ existiert, falls $\begin{eqnarray*} | Y|=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} Y=\{0\} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f\equiv 0 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} Y=\{1\} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f\equiv 1 \end{eqnarray*}$

Falls der Beweis so stimmt brauche ich nur noch ein Argument warum das jeweilige Urbild nicht gesamt X ist.

18.04.2015, 18:52

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ittum
Da für jede Menge Y eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\emptyset \to Y \end{eqnarray*}$ existiert, falls $\begin{eqnarray*} | Y|=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} Y=\{0\} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f\equiv 0 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} Y=\{1\} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f\equiv 1 \end{eqnarray*}$

Falls der Beweis so stimmt brauche ich nur noch ein Argument warum das jeweilige Urbild nicht gesamt X ist.

Das verstehe ich nicht; alles andere davor ist richtig.

Zitat:

Original von Ittum
Falls der Beweis so stimmt brauche ich nur noch ein Argument warum das jeweilige Urbild nicht gesamt X ist.

verwirrt

Wieso "nicht ganz X"? Du willst doch gerade zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist, dass also $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{0\})=X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{1\})=X \end{eqnarray*}$ gilt.

Eigentlich ist der Rest ganz einfach: Du weißt, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\{0\}=X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^{-1}\{0\}=\emptyset \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\{1\}=X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^{-1}\{1\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen aber die beiden Urbilder disjunkt sein und zusätzlich muss gelten $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{0\})\cup f^{-1}(\{1\})=X \end{eqnarray*}$ ...

18.04.2015, 20:13

Ittum

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Wieso müssen die Urbilder denn disjunkt sein? Also wäre schön wenn sie es wären, aber ich sehe nicht warum sie es sein müssen.
Wenn beide genau X wären, würde deren Vereinigung ja auch immernoch X sein.
Tut mir wirklich leid, aber Topologie wurde bei uns sehr kurz gehalten und wird nun in anderen Veranstaltungen deutlich mehr vorausgesetzt als ich momentan beherrsche. Ich versuche ja wirklich alles nachzuvollziehen.

18.04.2015, 22:23

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ittum
Wieso müssen die Urbilder denn disjunkt sein?

Das hat nichts mit Topologie zu tun, sondern nur mit den Eigenschaften einer Funktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{0\}) \end{eqnarray*}$ enthält alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden; $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{1\}) \end{eqnarray*}$ enthält alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.
Würden diese beiden Urbilder nicht disjunkt sein, gäbe es ein Element aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , das gleichzeitig auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird. Das ist aber nicht möglich.

19.04.2015, 09:29

Ittum

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Da hast du vollkommen Recht. Ich hatte an Surjektivität gedacht allerdings wäre dies natürlich wenn zwei Elemente das selbe Element treffen würden. Gut demnach weiss ich dann wie der Beweis geht.
Vielen Dank für alle deine Geduld smile

smile

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