Schouten Identities - Beweis durch Determinante

18.04.2015, 11:46

Mymouse

Schouten Identities - Beweis durch Determinante

Meine Frage:
Hi! Ich belege gerade LinA II, und wir haben zum Anfang des Semesters ein Blatt zu Determinanten bekommen.

Leider kann ich mit der Aufgabenstellung absolut nichts anfangen, und hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

Sei $\begin{eqnarray*} V = C^{n} \end{eqnarray*}$ und seien v1,...,vn+1 beliebige Vektoren in V. Fuer beliebige ik $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,2,..,n+1}, definieren wir (i1, i2,.., in) := det(vi1,vi2,..,vin),
wobei rechts die n x n Matrix steht, dessen k-te Spalte gleich vik ist.

Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (-1)^{n-i} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)*vi=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie gesagt, ich kann mit dieser Aufgabenstellung gar nichts anfangen. Auch nichts mit dem Thema "Schouten Identities".

Als Hinweis habe ich von einem Studenten des höheren Semesters erfahren, dass ich mir nochmals die Cramersche Regel und deren Beweis angucken soll - was ich auch getan habe. Allerdings wird da die Regel bewiesen indem man die Sachen einsetzt und dann zeigt das es gleich 0 ist.

Da ich ja aber überhaupt nicht verstehe, was mit dieser Formel gemeint ist, kann ich es auch nicht einsetzen :/

Ich bin über jede Gedankenanregung von euch dankbar!

18.04.2015, 14:05

RavenOnJ

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RE: Schouten Identities - Beweis durch Determinante
Zum Begriff "Schouten Identities" habe ich im Netz auch nur Links im Zusammenhang mit QFT, String-Theorie u.ä. gefunden.

Du kannst dir die Leibniz-Formel zur Determinantenberechnung zunutze machen. Betrachte

$\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (-1)^{n-i} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)\cdot v_i=0 \end{align*}$

mal komponentenweise, also z.B. für die 1. Komponente
$\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (-1)^{n-i} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)\cdot v_{i,1}=(-1)^{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n+1} (-1)^{1+i} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)\cdot v_{i,1} \end{align*}$

Jetzt überlege, wie die Matrix aussieht, die die Summe rechts als Determinante hat.

18.04.2015, 17:44

Mymouse

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Hi!

Vielen Dank für deine Antwort. Mich beruhigt es schonmal, dass du mit "Schouten Identities" auch nichts anfangen kann. Ich weiß auch echt nicht warum die Aufgabe so betitelt wurde :/

Ich musste mir erstmal wieder die Leibniz-Formel ins Gedächtnis rufen; allerdings kann ich mit deinem Hinweis auch nichts anfangen..

Ich glaube, ich versteh diesen ganzen Sinn der Formel schonmal nicht.
vi,1 ist ein Vektor und die gesamte rechte Seite ist die Determinante einer Matrix..

Ich will ungern raten, aber auch ungern gar nichts schreiben. Da du meintest, es ist nur für die 1. Komponente, ist es dann auch nur eine 1 x 1 Matrix?

Ich würde gerne mehr Beitrag leisten, aber irgendwie ist der Schalter noch nicht umgelegt.

LG

18.04.2015, 21:13

RavenOnJ

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Vielleicht hätte ich besser Laplacescher Entwicklungssatz statt Leibniz-Formel schreiben sollen, dann wäre es dir wahrscheinlich gedämmert. Der Laplacescher Entwicklungssatz lautet:
$\begin{align*} \det A = \sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} \cdot a_{ik} \cdot \det A_{ik} \end{align*}$
für die Entwicklung einer Determinante nach der i-ten Zeile. Dabei ist $\begin{align*} A_{ik} \end{align*}$ die $\begin{align*} (n-1)\times(n-1) \end{align*}$ -Untermatrix, die man durch Streichen der i-ten Spalte und k-ten Zeile von $\begin{align*} A \end{align*}$ bekommt. Du kannst jetzt aus deinen Vektoren $\begin{align*} v_j \end{align*}$ eine Matrix konstruieren, deren Determinante diese Form hat, analog zu der in der Aufgabe gegebenen Formel.

18.04.2015, 22:11

Mymouse

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Hi!

Vielen Dank wieder für deine Antwort. Den Zusammenhang mit dem Laplace-satz und meiner Formel sehe ich immerhin; das schaut ja auch ähnlich aus.

Ich glaube, ich verstehe nun auch was du möchtest was ich tue, aber ich glaube ich weiß halt immer noch nicht wie.
Eigentlich wollte ich erst die Theorie verstehen, und dann die Praxis, aber ich glaube das klappt bei diesem Beispiel nicht.

Wir haben zu dieser Aufgabe noch eine praktische bekommen, in der wir zeigen sollen:

$\begin{eqnarray*} {1,2}{3,4} - {1,3}{2,4} + {1,4}{2,3} = 0 \end{eqnarray*}$ für n=2.

.. Okay, das bringt mich auf eine Idee, wenn du immer von der Matrixkonstruktion sprichst. Ich wusste vorher nichts mit {1,2} und co. anzufangen, aber ist damit a12 gemeint?

Also eher a12*a34 - a13 * a24 + a14*a23 = 0.

Habe zwar immer noch keine Peilung wie ich das auf die theoretische Aufgabe anwenden kann, aber es scheint ja für n=2 dann eine 4x4 Matrix zu sein?!

Freue mich über jeden gedanklichen Input den du mir gibst,

LG

18.04.2015, 22:14

Mymouse

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Zitat:

Original von Mymouse
{1,2}{3,4} - {1,3}{2,4} + {1,4}{2,3} = 0 für n=2.

Sorry für den Doppelpost, aber als Gast kann ich leider meinen Beitrag nicht editieren, und habe erst nach dem abschicken gemerkt das der LateX-Code nicht das gemacht hat was er sollte :/

18.04.2015, 22:17

RavenOnJ

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OK, noch ein Tipp: Die zu konstruierende Matrix ist eine $\begin{align*} (n+1)\times(n+1) \end{align*}$ -Matrix, deren Spalten im wesentlichen aus den Vektoren $\begin{align*} v_i \end{align*}$ bestehen. Achte auf das "im wesentlichen", soll heißen, diese Vektoren solltest du geschickt um jeweils eine weitere Komponente ergänzen.

18.04.2015, 22:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mymouse
, aber als Gast kann ich leider meinen Beitrag nicht editieren, und habe erst nach dem abschicken gemerkt das der LateX-Code nicht das gemacht hat was er sollte :/

Dann solltest du dich mal anmelden. Kostet nix und manche Leute, so wie ich, antworten lieber auf Threads von angemeldeten Personen.

18.04.2015, 22:44

Mymouse

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Dann solltest du dich mal anmelden. Kostet nix und manche Leute, so wie ich, antworten lieber auf Threads von angemeldeten Personen.

Da hast du allerdings Recht, werde mich demnächst darum kümmern!

Okay, also beim Laplace ist es (n - 1) x (n - 1), da ja die Spalte/Zeile jeweils entfernt wird.

Also, geschickt erweitern. Wenn ich mir jetzt das praktische angucke, was ich gerade noch gepostet habe, unter Annahme meine Idee stimmt, dann fehlt ja jeweils a11, a22, a33, a44. Also die Diagonale?!

Wenn ich aus der Formel ablesen soll, womit ich das geschickt erweitern soll, dann weiß ich es nicht. Ansonsten kann man ja immer gut mit 0 erweitern?

LG und danke das du mir hilfst auch wenn ich noch! ein Gast bin!

18.04.2015, 23:02

RavenOnJ

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Lies dir am besten nochmal meinen 1. Beitrag durch.

18.04.2015, 23:13

Mymouse

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Okay,

ich suche etwas womit meine vi's zur (n + 1) x (n + 1) Matrix wird.
Wenn ich mir deinen ersten Beitrag nochmal anschaue.. spielst du eventuell auf das (-1)^n-1 an? Also, dass jeweils mit +/- 1 erweitert wird?

Ich werde für heute ins Bett gehen, aber sobald ich morgen wach bin schaue ich wieder in den Thread!

LG

18.04.2015, 23:16

RavenOnJ

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Nein, das meinte ich nicht. Guck dir in dem Beitrag nochmal die Summe auf der rechten Seite der Gleichung an und vergleiche das mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz. Vielleicht kommst du dann drauf. Morgen ist auch noch ein Tag.

19.04.2015, 14:55

Mymouse

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Okay, das $\begin{align*} \det A = \sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} \cdot a_{ik} \cdot \det A_{ik} \end{align*}$
mit dem vergleichen.
$\begin{align*} (-1)^{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n+1} (-1)^{1+i} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)\cdot v_{i,1} \end{align*}$ um herauszufinden womit ich mein vi erweitern kann, damit ich eine (n+1) x (n+1) Matrix bekomme.

Also, mein vi1 ist gleich dem det Aik. Das aik ist gleich dem (1,2,..i-1,i+1,..,n,n+1). Und das Summenzeichen ist insofern gleich, nur dass statt n n+1 durchläuft.

Ich weiß es halt echt nicht. Habe mir schon den ganzen Vormittag diese beiden Fomeln angeguckt, aber es will einfach nicht klick machen.

Ich habe mir auch extra nochmal den Beweis der Cramerschen Regel angeguckt, aber hier weiß ich nicht was ich wo einsetzen soll damit ich auf = 0 kommen soll.

Das einzige, was mich noch in etwa beruhigt, ist, das meine Kommilitionen genauso in die Röhre gucken wie ich :/

19.04.2015, 15:38

RavenOnJ

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Der Tipp mit der Cramerschen Regel war nicht gut. Vergiss ihn.

Du hast doch in beiden Summen Determinanten stehen. Im ersten Fall sind es Unterdeterminanten der größeren Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ und im zweiten Fall müsstest du versuchen, die Determinanten $\begin{align*} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1):= \det(v_1,v_2,\cdots,v_{i-1},v_{i+1},\cdots,v_{n+1}) \end{align*}$ , die ja Determinanten von $\begin{align*} n \times n \end{align*}$ -Matrizen sind, als Unterdeterminanten einer $\begin{align*} (n+1) \times (n+1) \end{align*}$ -Matrix
aufzufassen.

Nimm mal nicht die allgemeine Form der Laplaceschen Entwicklung, sondern die spezielle
$\begin{align*} \det A = \sum_{k=1}^n (-1)^{1+k} \cdot a_{1k} \cdot \det A_{1k} \end{align*}$ ,
also die Entwicklung nach der 1. Zeile. Vielleicht kommst du dann eher drauf.

Der restliche Unterschied liegt dann noch in den $\begin{align*} a_{1k} \end{align*}$ und den $\begin{align*} v_{i,1} \end{align*}$ .

19.04.2015, 20:30

Mymouse

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Okay, ich checks einfach nicht.

Ich versteh den Laplaceschen-entwicklungssatz, auch die Formel der Entwicklung nach der 1. Zeile. Das aik ist der "Wert" den ich vorher rausziehe, und mein vi1 ist dann eine Spalte die ich einfach rausziehe?
Und durch dieses vi1 wird es dann zu einer (n+1) x (n+1) Matrix?

LG

20.04.2015, 19:16

RavenOnJ

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RE: Schouten Identities - Beweis durch Determinante
Drücke ich mich so unklar aus?

Ich gebe dir einen weiteren Tipp. Es ist

$\begin{align*} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)=(-1)^{1+i}\det\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0 &1&0&\cdots&0&0\\v_{1,1}&v_{2,1}&\cdots&v_{i-1,1} &x&v_{i+1,1}&\cdots&v_{n,1}&v_{n+1,1}\\ v_{1,2}&v_{2,2}&\cdots&v_{i-1,2} &x&v_{i+1,2}&\cdots&v_{n,2}&v_{n+1,2}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ v_{1,n}&v_{2,n}&\cdots&v_{i-1,n} &x&v_{i+1,n}&\cdots&v_{n,n}&v_{n+1,n}\end{pmatrix} \end{align*}$

Dabei stehen die x für beliebige Werte. Wie du hoffentlich bemerkst steht links die Determinante einer $\begin{align*} n\times n \end{align*}$ -Matrix und rechts die einer $\begin{align*} (n+1)\times (n+1) \end{align*}$ -Matrix.

Edit: Die x-e in der 1. Zeile durch 0 ersetzt, sonst macht das keinen Sinn.

21.04.2015, 11:23

Mymouse

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Hallo!

Leider mussten wir die Aufgabe heute abgeben, aber ich habe versucht alle meine Ideen und deine hilfreichen Tipps (du drückst dich nicht unklar aus, ich war einfach zu dämlich für diese Aufgabe!!) zu einem verständlichen Text zu mischen.
Dank dir bekomme ich wenigstens ein paar Punkte auf diese Aufgabe.

Vielen lieben Dank für deine Hilfe, aber dass Thema kann geschlossen werden und ich werde morgen meinen Übungsleiter damit dann nerven. Freude

21.04.2015, 13:33

RavenOnJ

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RE: Schouten Identities - Beweis durch Determinante
Schade, ich nahm an, dass ich dich auf die richtige Spur setzen kann. Teilweise ist das vielleicht auch meine Schuld, denn in meinem letzten Tipp mussten in der 1. Zeile 0-en statt x-e stehen.

Ich lös das mal auf, da die Abgabe ja schon war. Es ist

$\begin{align*} (1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)=(-1)^{1+i}\det\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0 &1&0&\cdots&0&0\\v_{1,1}&v_{2,1}&\cdots&v_{i-1,1} &x&v_{i+1,1}&\cdots&v_{n,1}&v_{n+1,1}\\ v_{1,2}&v_{2,2}&\cdots&v_{i-1,2} &x&v_{i+1,2}&\cdots&v_{n,2}&v_{n+1,2}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ v_{1,n}&v_{2,n}&\cdots&v_{i-1,n} &x&v_{i+1,n}&\cdots&v_{n,n}&v_{n+1,n}\end{pmatrix} \end{align*}$

Dabei stehen die x für beliebige Werte. Für die x kann man also auch die Komponenten von $\begin{align*} v_i \end{align*}$ einsetzen, womit man schreiben kann:

$\begin{align*} (-1)^{1+i}v_{i,k}(1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)=\det\begin{pmatrix}0&0&\cdots& 0&v_{i,k}&0&\cdots&0&0\\v_{1,1}&v_{2,1}&\cdots&v_{i-1,1} &v_{i,1}&v_{i+1,1}&\cdots&v_{n,1}&v_{n+1,1}\\ v_{1,2}&v_{2,2}&\cdots&v_{i-1,2} &v_{i,2}&v_{i+1,2}&\cdots&v_{n,2}&v_{n+1,2}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ v_{1,n}&v_{2,n}&\cdots&v_{i-1,n} &v_{i,n}&v_{i+1,n}&\cdots&v_{n,n}&v_{n+1,n}\end{pmatrix} \end{align*}$

Dies kann man für alle i machen und die Summe davon schreiben

$\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^{n+1}(-1)^{1+i}v_{i,k}(1,2,..,i-1,i+1,..,n,n+1)&=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\det\begin{pmatrix}0&0&\cdots& 0&v_{i,k}&0&\cdots&0&0\\v_{1,1}&v_{2,1}&\cdots&v_{i-1,1} &v_{i,1}&v_{i+1,1}&\cdots&v_{n,1}&v_{n+1,1}\\ v_{1,2}&v_{2,2}&\cdots&v_{i-1,2} &v_{i,2}&v_{i+1,2}&\cdots&v_{n,2}&v_{n+1,2}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ v_{1,n}&v_{2,n}&\cdots&v_{i-1,n} &v_{i,n}&v_{i+1,n}&\cdots&v_{n,n}&v_{n+1,n}\end{pmatrix}\\&=\det\begin{pmatrix}v_{1,k}&v_{2,k}&\cdots& v_{i-1,k}&v_{i,k}&v_{i+1,k}&\cdots&v_{n,k}&v_{n+1,k}\\v_{1,1}&v_{2,1}&\cdots&v_{i-1,1} &v_{i,1}&v_{i+1,1}&\cdots&v_{n,1}&v_{n+1,1}\\ v_{1,2}&v_{2,2}&\cdots&v_{i-1,2} &v_{i,2}&v_{i+1,2}&\cdots&v_{n,2}&v_{n+1,2}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots\\ v_{1,n}&v_{2,n}&\cdots&v_{i-1,n} &v_{i,n}&v_{i+1,n}&\cdots&v_{n,n}&v_{n+1,n}\end{pmatrix}\\&=0 \end{align*}$

Die letzte Gleichung gilt, da für alle k immer zwei Zeilen in der letzten Matrix gleich sind.

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