Erzeuger einer Produkt-Sigma-Algebra

18.04.2015, 13:23

lukasman94

Erzeuger einer Produkt-Sigma-Algebra

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} \Omega =\prod _{i\le 1}\Omega _{i},\; x_{i}:\Omega \rightarrow \Omega_{i} \end{eqnarray*}$ die Projektion auf die i-te Koordinate. Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=\bigotimes_{i\le 1} \mathcal{P}(\Omega_{i}) \end{eqnarray*}$ eine Produkt- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra. Zeige: $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{2}=\{\{X_{1}=\omega _{1},\ldots,X_{k}=\omega _{k}\}\mid k\ge 1,\omega _{i}\in\Omega_{i}\}\cup \{\emptyset \} \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ -stabiler Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_{2} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Es gilt hier also, zwei Dinge zu zeigen. Einmal die Schnittstabilität von $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{2} \end{eqnarray*}$ und die Erzeugereigenschaft. Zunächst zum zweiten:

Aus der Definition der Produkt-Sigma-Algebra weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{1}=\{X_{i}^{-1}A_{i}\mid i\ge 1,A_{i} \in \mathcal{P}(\Omega_{i})\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=\bigotimes_{i\le 1} \mathcal{P}(\Omega_{i}) \end{eqnarray*}$ ist. Es muss also doch bloß gezeigt werde, dass unser Erzeuger $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ dieselbe Produkt-Sigma-Algebra erzeugt, dass also $\begin{eqnarray*} \sigma (\mathcal{G}_{1})=\sigma (\mathcal{G}_{2}) \end{eqnarray*}$ ist. Da Sigma-Algebren minimal sind, folgt aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{2}\subset \sigma (\mathcal{G}_{1}) \end{eqnarray*}$ bereots $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{G}_{1})\subset \sigma(\mathcal{G}_{1}) \end{eqnarray*}$ und umgekehrt. Und genau daran scheiter ich gerade.

Edit Guppi12: Latex korrigiert (unter anderem \mathscr durch \mathcal ersetzt, geschweifte Klammern hinzugefügt und siehe Beitrag HAL). Bitte nächstes mal die Vorschaufunktion benutzen.

18.04.2015, 14:47

HAL 9000

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Ursache für den Buchstabensalat
Die LaTeX-Umgebung wird nicht mit [\latex], sondern [/latex] beendet.

20.04.2015, 09:56

lukasman

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RE: Ursache für den Buchstabensalat

Zitat:

Original von HAL 9000
Die LaTeX-Umgebung wird nicht mit [\latex], sondern [/latex] beendet.

Oh tut mir leid. Ich bin noch neu hier und noch etwas planlos Big Laugh

Aber ich hab ein paar neue Ideen:
Als Folge der Minimalität der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren folgt ja bereits aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{2}\subset \sigma (\mathcal{G}_{1})\textnormal{ bereits }\sigma (\mathcal{G}_{2})\subset \sigma (\mathcal{G}_{1}) \end{eqnarray*}$ . Also müsste ich doch für die Gleichheit beider Erzeugnisse von $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{1}\textnormal{ und }\mathcal{G}_{2} \end{eqnarray*}$ bloß folgendes zeigen:
1) $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{2}\subset \sigma (\mathcal{G}_{1}) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{1}\subset \sigma (\mathcal{G}_{2}) \end{eqnarray*}$

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