Mitternachtsformel/Lösungsformel mit komplexen Koeffizienten (uneindeutige komplexe Wurzel)

18.04.2015, 16:38

waldiphil

Mitternachtsformel/Lösungsformel mit komplexen Koeffizienten (uneindeutige komplexe Wurzel)

Guten Nachmittag,

ich möchte die Nullstellen folgenden Polynoms bestimmen:

$\begin{eqnarray*} z^2+2z + \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

bzw konkret weiß ich schon, dass diese Nullstellen

$\begin{eqnarray*} z_{0} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} z_{0} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

sind, denn

$\begin{eqnarray*} ( z + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}) \cdot (z + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}) = z^2+2z + \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Nun zu meinem Problem:
Ich will hier gerne die Mitternachts-/Lösungsformel verwenden.
Allerdings stoße ich dabei auf das Problem, dass die Diskriminante eine komplexe Zahl wird - vollwertig mit Real- und Imaginärteil.

Logischerweise gibt es dann auch zwei komplexe Wurzeln dieser Diskriminante (bzw. genauer gesagt die beiden Wurzelfunktionen, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ für Quadratwurzeln existieren, bilden die Diskriminante auf zwei verschiedene Zahlen ab), konkret (trigonometrisch über die Wurzel des Betrages und $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi + k360^\circ}{2} \end{eqnarray*}$ bestimmt):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{D} = \sqrt{3}-i \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{D} = \sqrt{3}+i \end{eqnarray*}$ .

Nun gut, sieht den tatsächlichen Nullstellen schonmal ziemlich ähnlich smile

.

Aber hier fangen die Probleme an: Nach Mitternachtsformel $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\right) \end{eqnarray*}$ müsste nun die Wurzel einmal mit plus, einmal mit Minus eingesetzt werden.

Aber es gibt nun mal nicht "die" Wurzel im Komplexen, und letztendlich ließen sich somit 4 "Nullstellen" bestimmen (beide Wurzeln jeweils einmal mit plus und einmal mit Minus).

Nun dachte ich mir, womöglich dient dieses $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ nur dazu, das Verhalten der komplexen Wurzel zu "emulieren", denn für reele Zahlen liefert dieses $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ja genau die beiden Wurzeln, die die komplexe Wurzelfunktion ergeben würde (z.b. $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ in den komplexen Zahlen sind $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ , also genau das, was man durch das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor der reellen Wurzel erhält).

Das Problem jedoch:
Setze ich die Wurzel der Diskriminante also "ohne Vorzeichen" ein, ergeben sich zwei Nullstellen, die sich leider um jeweils genau ein Vorzeichen von den tatsächlichen Nullstellen unterscheiden:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2 + \sqrt{3} - i}{2} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-2 - \sqrt{3} + i}{2} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man die beiden Wurzeln betrachtet, sieht man, dass entweder der Real- oder der Imaginär-Teil negativ und der jeweils andere positiv ist (was auch sinnvoll ist, da der Radikant den WInkel $\begin{eqnarray*} -60^\circ \end{eqnarray*}$ hat und die Wurzeln somit bei $\begin{eqnarray*} -30^\circ \end{eqnarray*}$ (4. Quadrant, dh. Realteil positiv, Imaginärteil negativ) und $\begin{eqnarray*} 150^\circ \end{eqnarray*}$ liegen (2. Quadrant, dh. Realteil negativ, Imaginärteil positiv).

Bei den echten Nullstellen jedoch sollen der Realteil und der Imaginärteil der Wurzel beide mit identischem Vorzeichen (entweder beide Minus oder beide Plus) auftauchen - was jedoch ganz egal, was man an der Stelle $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ verwendet nicht funktioniert.
Der einzige Weg, das zu erreichen wäre, wenn man das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ für die Wurzel mit positivem Imaginärteil als Plus und für jene Wurzel mit negativem Imaginärteil als Minus einsetzt.
Ist das allgemein richtig oder nur hier zufällig so?

Auf Wikipedia steht im Artikel zu quadratischen Gleichungen nun, dass bei negativen Diskriminanten $\begin{eqnarray*} i\sqrt{-D} \end{eqnarray*}$ den Imaginärteil der Nullstellen angibt.
Allerdings wird hier vorausgesetzt, dass die Gleichung nur reelle Koeffizienten enthält (das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ liefert dann die komplex-konjugierten Lösungen).
Auf den Fall, dass die Koeffizienten jedoch komplex sind (und damit für die Diskriminante auch gar nicht gesagt werden kann, ob sie "positiv" oder "negativ" ist), geht Wikipedia nicht ein.

Ich habe schon die ersten 5 Seiten der Suchmaschine meiner Wahl zu verschiedenen passenden Suchbegriffen abgegrast - aber nirgends werden meine Fragen zufriedenstellend beantwortet:
Kann man die Mitternachtsformel bei komplexen Koeffizienten verwenden?
Worauf muss man dann achten?
Weiso erhalte ich hier um ein Vorzeichen nicht die richtigen Nullstellen?

Vielen Dank schon mal
Philipp

18.04.2015, 16:54

HAL 9000

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Was redest du da von vier Lösungen??? unglücklich

Wir haben hier eine quadratische Gleichung $\begin{align*} z^2+pz+q=0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} p=2 \end{align*}$ und $\begin{align*} q=\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ vorliegen, die zugehöríge Diskriminante ist

$\begin{align*} D = \left( \frac{p}{2} \right)^2-q = 1- \frac{1-i\sqrt{3}}{2} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

mit den beiden komplexen Wurzeln

$\begin{align*} \pm\sqrt{D} = \pm\frac{\sqrt{3}+i}{2} \end{align*}$ .

P.S.: Falls du vielleicht auch noch $\begin{align*} \pm\frac{\sqrt{3}-i}{2} \end{align*}$ meinen solltest: Das sind keine Wurzeln von $\begin{align*} D \end{align*}$ , denn es ist

$\begin{align*} \left( \pm\frac{\sqrt{3}-i}{2} \right)^2 = \frac{1-i\sqrt{3}}{2} \neq D \end{align*}$ .

18.04.2015, 17:51

waldiphil

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Hallo,

danke dass Du dir die Zeit nimmst.
Die von Dir verwendete Umformung der Determinante von (der mir bekannten Form) $\begin{eqnarray*} p^2-4q \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} ((\frac{p}{2})^2-q) \end{eqnarray*}$ kann ich nachvollziehen.

Ich jedoch habe die Diskriminante mit der mir bekannten Form bestimmt:

Diskriminante bestimmen:

$\begin{eqnarray*} (b^2-4ac) = 2^2-4\cdot \frac{1-\sqrt{3}i}{2} = 4- \frac{4-4\sqrt{3}i}{2} = 4-2 - 2\sqrt{3}i = 2 - 2\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$
Wiso ist diese nicht identisch? Spielt da das $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2}=1 \end{eqnarray*}$ eine Rolle? Oder habe ich einfach einen Fehler gemacht?

Den nächsten Schritt, dass Wurzelziehen, kann ich so leider nicht direkt nachvollziehen, da mir nur der Weg über die trigonometrische Form bekannt ist.

Ich habe das folgendermaßen gemacht:

Wurzel der Diskriminante:

$\begin{eqnarray*} |2-2i\sqrt{3}| = \sqrt{2^2+(-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = \sqrt{16} = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos \ arg(2-2i\sqrt{3}) = \frac{Re(2-i2\sqrt{3})}{|2-2i\sqrt{3}|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow arg(2-2i\sqrt{3}) = -60^\circ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-2i\sqrt{3}} \in \Bigl\{ \sqrt{4} \Bigl[cos\ \Bigl(\frac{-60^\circ + k 360^\circ}{2}\Bigr) + i\ sin \Bigl(\frac{-60^\circ + k 360^\circ}{2}\Bigr)\Bigr] | k = 0, 1 \Bigr\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{D} = 2\Bigl[cos (-30^\circ) + i\ sin (-30^\circ)\Bigr] = \sqrt{3} - i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lor \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{D} = 2\Bigl[cos (150^\circ) + i\ sin (150^\circ)\Bigr] = -\sqrt{3} + i \end{eqnarray*}$

Warum unterscheiden sich meine Wurzeln von Deinen? Wo ist da ein Fehler?
Nimmt das schon bei der Diskriminante seinen Lauf?

Viele Grüße
Philipp

18.04.2015, 17:56

HAL 9000

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Hier ist der Fehler:

Zitat:

Original von waldiphil
$\begin{eqnarray*} 4- \frac{4-4\sqrt{3}i}{2} = 4-2 - 2\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

Tatsächlich sind hier Klammern zu setzen, d.h.

$\begin{eqnarray*} 4- \frac{4-4\sqrt{3}i}{2} = 4-(2 - 2\sqrt{3}i) \end{eqnarray*}$ .

18.04.2015, 18:53

waldiphil

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Aalles klar, da haben mir mal wieder elementare Rechenkenntnisse gefehlt.
Mit dem Minus ändert sich natürlich alles, die Winkel in der trigonometrischen Darstellung sind andere (da wir uns nun im 1., nicht mehr im 4. Quadranten befinden) - und am Ende passt endlich alles und es kommt das richtige raus.

Vielen vielen Dank für Deine Hilfe und noch ein schönes Wochenende Augenzwinkern

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