Beweis einer Ungleichung

18.04.2015, 19:30

zunder

Beweis einer Ungleichung

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe hier eine Aufgabe und ich wollte fragen, ob meine Lösung stimmt, denn sie ist etwas kurz. Die Aufgabe ist:
Finden Sie ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \forall n \ge N \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Bigg\vert\frac{cos^{(n+1)}(x)}{(n+1)!)}\Bigg\vert<10^{-3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe es so:

$\begin{eqnarray*} \Bigg\vert\frac{cos^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}\Bigg\vert \le \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{10^3} \iff (n+1)! > 10^3 \end{eqnarray*}$

Das ist erfüllt für $\begin{eqnarray*} n \ge 6\: \text{,da}\: 6!=720<10^3, (6+1)!=7!=5040>10^3 \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig? Danke.

18.04.2015, 19:37

HAL 9000

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Ja, ist im Endergebnis korrekt - allerdings ist das hier

Zitat:

Original von zunder
$\begin{eqnarray*} \Bigg\vert\frac{cos^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}\Bigg\vert \le \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{10^3} \iff (n+1)! > 10^3 \end{eqnarray*}$

schon sehr salopp (und so als Äquivalenz auch missverständlich) geschrieben. Der vordere Teil sollte besser erläutert werden, ungefähr so:

Wegen $\begin{align*} |\cos(x)|\leq 1 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \Bigg\vert\frac{\cos^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}\Bigg\vert \le \frac{1}{(n+1)!} \end{align*}$ , und daher ist zur Erfüllung der geforderten Ungleichung hinreichend, dass $\begin{align*} \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{10^3} \end{align*}$ gilt ...

P.S.: Ich hab jetzt $\begin{align*} \cos^{(n+1)} \end{align*}$ als $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ -te Potenz aufgefasst. Sollte es die $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ -te Ableitung sein, dann stimmt die Beschränktheit durch 1 ebenfalls, aber aus leicht anderen Gründen. Augenzwinkern

18.04.2015, 19:56

zunder

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Es war die Ableitung gemeint. Dann schreibe ich dazu, dass
$\begin{eqnarray*} \vert\cos(x)\vert \le 1,\ \vert\sin(x)\vert \le 1 \end{eqnarray*}$ .

18.04.2015, 23:54

Jayk

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Zitat:

Original von HAL 9000

Wegen $\begin{align*} |\cos(x)|\leq 1 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \Bigg\vert\frac{\cos^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}\Bigg\vert \le \frac{1}{(n+1)!} \end{align*}$ , und daher ist zur Erfüllung der geforderten Ungleichung hinreichend, dass $\begin{align*} \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{10^3} \end{align*}$ gilt ...

Und auch notwendig, wenn man sich links ein $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hinzu denkt.

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