Höhenunterschied bei Bäumen berechnen (Analysis)

18.04.2015, 19:54

Höhenunterschied bei Bäumen berechnen (Analysis)

Hallo alle zusammen,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Aufgabe:

Jemand behauptet, dass die beiden Buchen 50 Jahre nach ihrer Anpflanzung gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens 3,50 m aufweisen müsste.
Prüfen Sie, ob die Behauptung wahr ist

Benötigte Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(t)=0,3+35*(1-e^{-0,002t})^2 \end{eqnarray*}$ [t ist größer/gleich 0]
Höhe Buche 1

$\begin{eqnarray*} g'(t)= 1,1*(e^{-0,02t}-e^{-0,04t}) \end{eqnarray*}$ [t ist größer/gleich 0]
Wachstumsgeschwindigkeit Buche 2

t ist die Zeit in Jahren ; f(t) ist in m angegeben

Mein Lösungsvorschlag:

Wir brauchen für beide Bäume die Funktionen, die die Höhe der Bäume nach t Jahren angibt.
Bei $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ ist das schon der Fall, aber bei $\begin{eqnarray*} g`(t) \end{eqnarray*}$ noch nicht.
Deshalb bildet man von $\begin{eqnarray*} g'(t) \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} g(t)= 27,5*(e^{-0,04t}-2*e^{-0,02t}) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich einfach die Höhe von beiden Bäumen nach 50 Jahren ausgerechnet, indem ich 50 eingesetzt habe und wollte die Höhe der beiden Bäume miteinander subtrahieren.

Mein Problem:

Das haut allerdings nicht hin, da bei $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ ein Minuswert (ca. -16,5 m ) als Ergebnis herauskommt.
Und wie man sicherlich weiß, wächst ein Baum nicht mit dem Stamm nach unten.

Ich weiß einfach nicht wo der Fehler liegt.

Edit opi: Latex editiert

18.04.2015, 20:19

Helferlein

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Deine Buche 2 beginnt 27,5 m unter der Erde zu wachsen.

Mathematisch geht es nicht um irgendeine Stammfunktion, sondern eine ganz bestimmte. Du hast eine falsche gewählt.

18.04.2015, 20:46

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Ich habe die Stammfunktion aus $\begin{eqnarray*} g'(t) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und diese stimmt auch mit den Lösungen überein.

Zitat:

Zitat von Helferlein
Mathematisch geht es nicht um irgendeine Stammfunktion, sondern eine ganz bestimmte. Du hast eine falsche gewählt.

Welche andere Stammfunktion gibt es denn noch?
verwirrt

Meinst du eine Stammfunktion gebildet aus der Stammfunktion?

Edit opi: Latex editiert

19.04.2015, 00:00

Helferlein

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Es gibt nicht die Stammfunktion. Vielmehr besitzt jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen.
Nehmen wir beispielsweise die Funktion f(x)=1 und fragen uns, welche Stammfunktionen dazu existieren. Anders ausgedrückt: Welche Funktionen haben überall die Steigung 1. Da ist zunächst einmal die naheliegenste Funktion $\begin{eqnarray*} F(x)=x \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} F(x)=x+10 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=x-\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=x+\sqrt[3]{1531} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=x-cos(ln(\pi^2)) \end{eqnarray*}$ um nur ein paar zu nennen.

Falls Dir das zu mathematisch ist, kann man es sich auch ganz einfach aus der Anschauen klar machen: Du kennst die Wachstumsgeschwindigkeit, also die Veränderung der Höhe. Kannst Du daraus schließen, wie hoch die Buche ist? Kannst Du mir sagen wie groß ich bin, wenn ich Dir sage, dass ich in den letzten 10 Jahren um 5 cm gewachsen bin? Wenn ja, dann ist die Stammfunktion (die Höhe) eindeutig bestimmt. Wenn Du aber eine Zusatzuinformation brauchst, kann die Lösung nicht eindeutig sein.

19.04.2015, 01:01

Dopap

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auch Buche1 gefällt mir biologisch nicht: f(0)=0.3 , f(50)=0.62 . Oder wachsen die tatsächlich so langsam ?

19.04.2015, 12:52

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Zitat:

Original von Helferlein
Nehmen wir beispielsweise die Funktion f(x)=1 und fragen uns, welche Stammfunktionen dazu existieren. Anders ausgedrückt: Welche Funktionen haben überall die Steigung 1. Da ist zunächst einmal die naheliegenste Funktion $\begin{eqnarray*} F(x)=x \end{eqnarray*}$ , aber auch $\begin{eqnarray*} F(x)=x+10 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=x-\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=x+\sqrt[3]{1531} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F(x)=x-cos(ln(\pi^2)) \end{eqnarray*}$ um nur ein paar zu nennen.

Das habe ich verstanden Freude

Allerdings frage ich mich, wie man dann die richtige Stammfunktion herausfindet.
Muss man $\begin{eqnarray*} g(50) - g(0) \end{eqnarray*}$ rechnen, um die wirkliche Höhe des Baumes darzustellen?

Zitat:

Orginal von Dopap
auch Buche1 gefällt mir biologisch nicht f(0)=0,3 , f(50)=0,62. Oder wachsen die tatsächlich so langsam?

Ich habe eine 0 zu viel bei der e-Funktion.
Die richtige Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 0,3+ 35*(1-e^{-0,02t}) ² \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet also : f(50)=14,2851....

19.04.2015, 16:52

Dopap

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$\begin{eqnarray*} g(50)-g(0) \end{eqnarray*}$ ist das Wachstum in den letzten 50 Jahren. Das reicht aber auch nicht.

nach dem Integrieren musst du eine Anfangsbedingung einbringen. Sinnvoll erscheint mir die Annahme g(0)=0.3 , also

$\begin{eqnarray*} 27.5(e^{-.04t}-2e^{-.02t})+C=0.3\quad \big |_{t=0} \end{eqnarray*}$ auswerten um C zu bestimmen.

und dann könnte man nach der Differenz der Höhen schauen.

19.04.2015, 18:03

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(50)-g(0) \end{eqnarray*}$ ist das Wachstum in den letzten 50 Jahren. Das reicht aber auch nicht.

also das gleiche auch mit f(t), da Wachstum Baum 1 (50 Jahre) - Wachstum Baum 2 (50 Jahre) = Höhenunterschied der Bäume nach 50 Jahren

Folglich:

$\begin{eqnarray*} ( f(50) - f(0) )-( g(50)-g(0) )=h \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (14,28 - 0,3) - ( -16,51 - (-27,5) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 13,98 - 10,99 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2,99 \end{eqnarray*}$

Freude

Das stimmt mit den Lösungen!!

Zitat:

nach dem Integrieren musst du eine Anfangsbedingung einbringen. Sinnvoll erscheint mir die Annahme g(0)=0.3 , also

$\begin{eqnarray*} 27.5(e^{-.04t}-2e^{-.02t})+C=0.3\quad \big |_{t=0} \end{eqnarray*}$ auswerten um C zu bestimmen.

und dann könnte man nach der Differenz der Höhen schauen.

Da weiß ich nicht so wirklich wie du das rechnen wolltest.
Oder meintest du das selbe wie ich?

19.04.2015, 18:18

Dopap

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ja, sehr gepflegt Freude

Man vergleicht nicht die wahren Höhen, sondern vergleicht die Zuwächse und kann somit auf eine Anfangsbedingung verzichten.

Edit -----------------------------

Ich habe eben angenommen dass die Pflänzlinge gleich groß waren, und erhalte somit die wahre Höhenfunktion g(t). Das Ergebnis ist aber dasselbe.

19.04.2015, 18:39

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Zitat:

Original von Dopap
Ich habe eben angenommen dass die Pflänzlinge gleich groß waren, und erhalte somit die wahre Höhenfunktion g(t). Das Ergebnis ist aber dasselbe.

Die Pflanzen sind am Anfang alle gleich groß.
In der Aufgabe stand, dass alle beide mit 0,3 m gepflanzt wurden.

Du wolltest die Gleichungen dann mit 0,3 m gleichsetzen und anschließend miteinander subtrahieren, oder?
Ich bin immer noch nicht hinter deinen Lösungsweg gekommen.

19.04.2015, 18:53

Dopap

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ich liebe diese Aufgaben, wo entscheidende Informationen erst am Ende bekannt werden unglücklich

$\begin{eqnarray*} 27.5(e^{-.04t}-2e^{-.02t})+C=0.3\quad \big |_{t=0} \quad \Rightarrow C=27.8 \end{eqnarray*}$

somit ergibt sich die Höhenfunktion von Buche2 zu :

$\begin{eqnarray*} g^{*}(t)= 27.8+27.5(e^{-.04t}-2e^{-.02t}) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \Delta h=f(50)-g^{*}(50)=2.99 \end{eqnarray*}$

19.04.2015, 19:33

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achso hast du das gemacht smile