Zu Gerade parallele Ebene mithilfe der Ebenenschar finden

19.04.2015, 12:43

Zu Gerade parallele Ebene mithilfe der Ebenenschar finden

Hi,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} E:\left[x-\begin{pmatrix} 0 \\ 2t \\ t \end{pmatrix} \right]*m\begin{pmatrix} t-4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:x=\begin{pmatrix}2 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} +m\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stellen Sie die Ebenenschar in Koordinatenform dar. Für welchen Wert von t sind die Ebenen Et und Die Gerade g parallel?

Lösungsanfang:

Die Normalenform in die Koordinatenform umzuwandeln war nicht schwer:

$\begin{eqnarray*} (t-4)x1 - 2*x2 + 6*x3=2t \end{eqnarray*}$

Problem:

Allerdings komme ich jetzt nicht weiter. Wie rechnet man um ein t herauszufinden, sodass die Ebenenschar parallel zur Geraden ist?

Ich glaube dieses Problem beruht auf einer allgemeinen Verständnislücke von mir.
Kann mir deswegen jemand erläutern wie man allgemein parallele Geraden/Ebenen erstellt (und natürlich die obrige Aufgabe auch erklären)?

19.04.2015, 12:46

Mi_cha

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damit eine Ebene und eine Gerade parallel verlaufen, welche Beziehung muss zwischen Richtungsvektor der Gerade und Normalenvektor der Ebene bestehen?

Edit: Die Koordinatengleichung stimmt, aber das "m" bei der Ebenengleichung ist Fehl am Platz; ferner fehlt das "=0" Augenzwinkern

19.04.2015, 16:17

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oh - stimmt. Da hab ich wohl nicht aufgepasst

Ich weiß, dass der Normalenvektor der Ebene und der Gerade voneinander linear abhängig sein muss. Darüber habe ich schon nachgedacht, allerdings hat mir das nicht so wirklich weitergeholfen. Wusste trotzdem nicht wie man weitermacht.

19.04.2015, 17:10

Bürgi

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Guten Tag,

nur ein Hinweis in nonverbaler Form:

[attach]37776[/attach]

... und auch schon wieder weg! Wink

19.04.2015, 17:49

riwe

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Zitat:

Original von ph
oh - stimmt. Da hab ich wohl nicht aufgepasst

Ich weiß, dass der Normalenvektor der Ebene und der Gerade voneinander linear abhängig sein muss. Darüber habe ich schon nachgedacht, allerdings hat mir das nicht so wirklich weitergeholfen. Wusste trotzdem nicht wie man weitermacht.

wie Bürgi dir schon gezeigt hat, solltest du da noch einmal darüber nachdenken.

19.04.2015, 18:14

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heißt das, man setzt den Richtungsvektor von der Geraden in die Koordinatenform von der Ebenenschar?

In diesem Fall wäre dann t=4.

Allerdings glaube ich, dass das falsch ist unglücklich

[Edit:]

Mir ist noch was eingefallen:

der Normalenvektor muss ja senkrecht auf den Richtungsvektor der Geraden fallen,
d.h. man muss ein Skalarprodukt zwischen diesen beiden bilden.

Also:

$\begin{eqnarray*} n= \begin{pmatrix} t-4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t-4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t-4+2+6=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=-4 \end{eqnarray*}$

Das klingt für mich plausibler. Ist das richtig?

19.04.2015, 19:05

Bürgi

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Ja!

19.04.2015, 19:29

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Gut das ich das endlich verstanden habe ! smile

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